(
课件网) 3.1.1 方程的根与函数的零点 人教A版高中数学必修1 思考：二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？ 发现：二次方程的实数根 相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标. 对于函数y=f(x), 叫做函数y=f(x)的零点。 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 函数的零点定义： 等价关系 使f(x)=0的实数x 概念·形成 例 函数f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)的零点为( ). A (1, 0)，(-2, 0)，(3, 0) B 1，2，3 C (-1, 0)，(2, 0)，(3, 0) D 1，-2，3 注：零点是一个实数 方程的实数根等价于函数图象与x轴交点的横坐标 问题探究 x y 0 0 y x 0 y x 0 y x 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x) 在区间(a,b)内有零点，即存在 使得 f(c)=0,这个c也就是方程f(c)=0 的根。 函数零点存在性定理 存在零点 至少有一个零点 思考：以下两组图片，哪一组能说明小黄人一定曾渡河. 第一组 第二组 前 后 后 前 练习3:下列函数在区间（1，2）上有零点的是( ) (A) f(x)=3x2-4x+5 (B) f(x)=x -5x-5 (C) f(x)=lnx-3x+6 (D) f(x)=ex+3x-6 练习4:f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有 零点( ) A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) D B 思考1：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，若函数y=f(x)在区间(a, b)内有零点， 一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？ 思考2：如果函数 y=f(x) 在[a,b]上是连续的单调函数, 并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)f(b)﹤0, 那么这个函数在(a,b)内的零点个数能确定吗？ 连续+f(a)f(b)<0 f(x)在(a,b)上存在零点 函数零点存在性定理 连续+f(a)f(b)<0+单调 f(x)在(a,b)上有唯一零点 函数零点唯一性定理 定理不可逆 课堂小结 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 1. 函数的零点: 对于函数y=f(x)，把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 2. 函数零点存在性 如果函数y=f(x)在去加[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间 (a，b)内有零点. 函数 在下列哪个区间上有零点( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) C 解析: 变式2: 函数 在(2,3)上有多少个零点？ 练习2 可知 f(2)<0,f(3)>0， 即f(2)·f(3)<0， 说明这个函数在区间(2,3)内有零点。 由于函数f(x)在(0,+∞)内是增函数， 所以它仅有一个零点。 解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象 －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x f（x） . . . . . . . . . x 0 －2 －4 －6 10 5 y 2 4 10 8 6 12 14 8 7 6 4 3 2 1 9 连续+f(a)f(b)<0+单调 f(x)在(a,b)上有唯一零点 例1:求函数 的零点个数. 解法2： 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 问题6. 问题7.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内， 另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2)若方程有一个根在(0,2)内,求m的范围. (3)若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围. (4)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 【变式引申】 解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与 x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内， 画出示意图，得 ∴ . 问题7.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)方程有两根，一根在区间(－1,0)内， 另一根在区间(1，2)内，求m的范围. 问题7：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (3)若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围. 解:由题意得:f(2)<0 即6m+5<0 解得: 问题7：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (4)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 解:由题意得: 解得: ... ...
