北京市西城区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2023年 2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试 数学试题 一、单选题 1．直线的倾斜角等于（ ） A． B． C． D． 2．抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，点，则（ ） A．直线坐标平面 B．直线坐标平面 C．直线坐标平面 D．直线坐标平面 4．在的展开式中，的系数为（ ） A．6 B．12 C．24 D．36 5．在长方体中，，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 8．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ） A． B． C． D． 10．设点，，直线，于点，则的最大值为（ ） A． B．6 C．4 D． 二、填空题 11．设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为_____. 12．在的展开式中，常数项为_____． 13．设为抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则_____. 14．记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值_____． 15．如图，在正方体中，为棱的中点，是正方形内部（含边界）的一个动点，且平面.给出下列四个结论： ①动点的轨迹是一段圆弧； ②存在符合条件的点，使得； ③三棱锥的体积的最大值为； ④设直线与平面所成角为，则的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是_____. 三、解答题 16．从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？ 17．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．在平面直角坐标系中，，曲线是由满足直线与的斜率之积等于定值的点组成的集合. (1)若曲线是一个圆（或圆的一部分），求的值； (2)若曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率，求的取值范围. 19．已知椭圆的一个焦点为，其长轴长是短轴长的2倍. (1)求椭圆的方程； (2)记斜率为1且过点的直线为，判断椭圆上是否存在关于直线对称的两点？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由. 20．如图，在四棱柱中，平面，为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：；条件②：. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 21．已知椭圆的焦点在轴上，且离心率为. (1)求实数的值； (2)若过点可作两条互相垂直的直线，且均与椭圆相切.证明：动点组成的集合是一个圆. 2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试 数学试题 一、单选题 1．直线的倾斜角等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，据此可得答案. 【详解】由得，得直线斜率为，则倾斜角为. 故选：D 2．抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线方程求出，进而可得焦点坐标以及准线方程. 【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：， 故选：D. 3．在空间直角坐标系中，点，则（ ） A．直线坐标平面 B．直线坐标平面 C．直线坐标平面 D．直线坐标平面 【答案】C 【分析】求出及三个坐标平面的法向量，根据与法向量的关系判断． 【详解】，坐标平面的一个法向量是，坐标平面的一个法向量是，坐标平面的一个法向量是，这三个法向量与都不平行， 但，点均不在坐标平面上，因此与坐标平面平行， 故选：C． ... ...