必修第四册 10.1.1 复数的概念 一、选择题（共12小题） 1. 的值域中元素有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 已知复数 （， 为虚数单位）为纯虚数，则 的值为 A. 或 B. C. D. 3. 复数 ， 满足 ，，并且 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 4. 方程 中，实数 的值为 A. 或 B. 或 C. D. 或 5. 复数 （ 是虚数单位）的实部为 A. B. C. D. 6. 复数 的模 ，其中 为虚数单位，，则这样的 一共 个． A. B. C. D. 无数个 7. 复数 的三角形式是 A. B. C. D. 8. 若复数 ，则把这种形式叫做复数 的三角形式，其中 为复数 的模， 为复数 的辐角，若一个复数 的模为 ，辐角为 ，则 A. B. C. D. 9. 下列表示复数 的三角形式中 ① ； ② ； ③ ； ④ ；正确的个数是 A. B. C. D. 10. 已知 为实数，若复数 是纯虚数，则 的虚部为 A. B. C. D. 11. 复数 ，若 ，则实数 的值是 A. B. C. D. 12. 已知 ，且 、 是实系数一元二次方程 的两个根，那么 、 的值分别是 A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（共6小题） 13. 计算： ． 14. 欧拉公式 （其中 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的．当 时，，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，根据欧拉公式，若将 所表示的复数记为 ，那么 ． 15. 用集合的关系符号表示复数集 ，实数集 ，有理数集 ，整数集 ，自然数集 的关系 ． 16. 复数 ． 17. 若 （ 为虚数单位），则 是 的 条件． 18. 已知复数 ，，且 为纯虚数，则 ． 三、解答题（共8小题） 19. 求下列各数的值：，，，． 20. 请回答下列问题． （1）求 ，，，，，，， 的值． （2）由（）推测 （）的值有什么变化规律，并把这个规律用式子表示出来． 21. 已知复数 ． （1）， 取什么整数值时， 是纯虚数； （2）， 取什么整数值时， 是实数． 22. 请回答： （1）求证 ； （2）写出下列复数 的倒数 的模与辐角． ，，． 23. 设 ，求 的元素个数． 24. 实数 为何值时，复数 是 （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 25. 将下列复数表示为三角形式： （1）； （2）． 26. 实数 为何值时，复数 是（）实数；（）虚数；（）纯虚数． （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 答案 1. B 2. D 3. C 【解析】因为 ， 所以 所以 ， 因为 所以 ． 4. C 5. A 【解析】根据复数的基本概念，可得复数 的实部为 ． 6. C 7. B 【解析】． 8. D 【解析】由复数 的模为 ，辐角为 ， 可得 ． 所以 ． 9. B 【解析】， 辐角主值为 ， ， 故 的表示是正确的， 的表示不正确，故选：B 10. C 11. D 12. A 【解析】法一：由复数根成对出现可知 ． 法二：由根与系数的关系知 而此方程又是实系数方程， 所以 和 是实数， 故 解得 13. 【解析】因为 ，，，，， 所以 ． 14. 【解析】由题意，． 所以 ． 15. 16. 17. 充分不必要 18. 【解析】 为纯虚数， 所以 解得 ． 19. ，，，． 20. （1） （2） 对任意 ，有 ，，，． 21. （1） 若 是纯虚数， 则 ， 解得 ， 且 ，． （2） 若 是实数， 则 ， 解得 或 ， 且 ，． 22. （1） （2） 因为 ， 所以 的模为 ，辐角为 ，． 因为 ， 所以 的模为 ，辐角为 ，， 因为 ， ， 所以 的模为 ，辐角为 ，． 23. 则 中的元素有 个． 24. （1） 要使复数 为实数，需使复数的虚部为 ． 即 解得 ． 所以当 时， 为实数． （2） 要使复数 为虚数，需使复数的虚部不为 ． 即 解得 所以当 且 时， 为虚数． （3） 要使复数 为纯虚数，需使复数的实部为 ，虚部不为 ． 即 解得 或 ． 所以当 或 时， 为纯虚数． 25. （1） ． （2） ． 26. （1） 由已知得复数 的实部为 ， 虚部为 ． 复数 是实数的充要条件是 即 得 ， 所以当 时，复数 是实数． （2） 复数 是虚数的充要条件是 即 且 ． 所以当 且 时，复数 是虚数 ... ...
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