专题训练：双变量问题 一.主元变更法 1．设函数． （1）若，讨论函数的单调性； （2）当时，若不等式对所有的，恒成立，求实数的取值范围． 二.双变量为极值点 2.已知函数. （1）若函数为函数的导函数，讨论函数的单调性； （2）若函数的两个极值点分别为且，若不等式恒成立，求实数的取值范围； 3．已知. （1）讨论函数_f(x)的单调性； （2）若 ，且有2 个不同的极值点 ，求证： 三、双变量为零点问题 4.已知函数. (1)当时，证明：； (2)若的两个分别为，证明：. 四.可分离的双变量问题 5．已知函数 （I）当时，求函数的单调区间； （II）当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围. 五.能化为最值的双变量问题 6．设函数，． （1）求函数的单调性； （2）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 参考答案 专题训练：双变量问题 参考答案： 一.主元变更法 1．设函数． （1）若，讨论函数的单调性； （2）当时，若不等式对所有的，恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）求导函数，分和两种情况讨论导函数的符号，从而得原函数的单调性； （2）由题可得出对所有的的都成立，从而令，根据一次函数的单调性可得，再令，求导，分析其导函数的符号，得出函数的单调性，从而有，得出答案. 【解析】（1）若，，则， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，令，得（负值舍去），当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减； （2）当时，.若不等式对所有的都成立，则对所有的都成立，即,对所有的都成立， 令，则为一次函数，， ，，在上单调递增， ，对所有的都成立， 令，则，因为，所以，所以函数在单调递减，所以， ，所以实数的取值范围为. 【方法点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合；③讨论最值或恒成立；④讨论参数. 二.双变量为极值点 2.已知函数. （1）若函数为函数的导函数，讨论函数的单调性； （2）若函数的两个极值点分别为且，若不等式恒成立，求实数的取值范围； 【分析】求出函数的导函数，分时，时，两种情况讨论，根据导函数的符号即可得出函数的单调性； （2）由（1）知的两个极值点是方程的两根，则，则，则可得，令，，得，则等价于对任意的恒成立，令，求出函数的最小值，从而可得答案. 【解析】（1）由题知，则， 当时，对恒成立，∴在上单调递减， 当时，，则， 时，，∴在上单调递增， 时，，∴在上单调递减， 综上：当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）知的两个极值点是方程的两根，即， ∴，则可得，令，由知道， ∴，，解得， ∴等价于对任意的恒成立， 令，则， 当时，在单调递减，则， 所以在上单调递增，则不成立，舍去. 当时，令， 则， 当时，则，则在上单调递增，所以， ∴在上单调递减，则成立， 当时，时，，时，， 所以在上递增，在上递减， 对任意，， 所以在上单调递增，所以与题设矛盾舍去， 综上：. 3．已知. （1）讨论函数_f(x)的单调性； （2）若 ，且有2 个不同的极值点 ，求证： 【解析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可判断的单调性； （2）①方法一：根据导数与函数极值的关系，求得和的关系，因此可以求得的取值范围； 方法二：根据方法一求得和的关系，根据函数的零点存在定理求得的取值范围； ②根据①可知，表示出，消元，根据的取值范围和函数的单调性即可求得 【详解】（1），求导，， ①当时，，所以在上单调递增； ②当时，，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上可知，时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）①方法一：因为＝， ... ...
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