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课件网) §3 二倍角的三角函数公式 3.1 二倍角公式 必备知识·自主学习 1.倍角公式 (1)sin 2α= _____(S2α). (2)cos 2α= _____ = _____=1-2sin2α(C2α). (3)tan 2α=_____(T2α). 导思 1.如何根据两角和差的正弦、余弦及正切公式推出二倍角公式 2.二倍角公式有哪些变形式 2sin αcos α cos2α-sin2α 2cos2α-1 【思考】 (1)所谓的“倍角”公式,就是角α与2α之间的转化关系,对吗 提示:不对.对于“倍角”应该广义地理解,如:8α是4α的二倍角,3α是 α 的倍角,α是 的倍角, 是 的倍角,…,这里蕴含着换元思想.这就是说 “倍”是相对而言的,是描述两个数量之间关系的. (2)公式中的角α是任意角吗 提示:对于公式S2α,C2α中的角α是任意角,但是T2α中的角α要保证tan α有意义且分母1-tan2α≠0. 即α≠kπ+ 且α≠kπ+ ,k∈Z. 2.倍角公式的变换 (1)因式分解变换 cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α). (2)配方变换 1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2. (3)升幂缩角变换 1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α. (4)降幂扩角变换 cos2α= (1+cos 2α),sin2α= (1-cos 2α), sinαcos α= sin 2α. 【思考】 以上公式的变换可以在做题中直接运用吗 提示:可以,尤其是上面(4)应用的频率非常高. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)倍角的正切公式的适用范围不是任意角. ( ) (2)对于任意的角α,都有sin 2α=2sin α成立. ( ) (3)存在角α,使cos 2α=2cos α成立. ( ) (4)cos 3αsin 3α= sin 6α对任意的角α都成立. ( ) 提示:(1)√.倍角的正切公式,要求α≠ +kπ(k∈Z)且α≠± +kπ(k∈Z),故此说法正确. (2)×.当α= 时,sin 2α=sin ,而2sin α=2× =1. (3)√.由cos 2α=2cos α=2cos2α-1,得cos α= 时,cos 2α=2cos α 成立. (4)√.由倍角的正弦公式可得. 2.已知sin x= ,则cos 2x的值为 ( ) 【解析】选A.因为sin x= , 所以cos 2x=1-2sin2 x=1-2× . 3.(教材二次开发:例题改编)若tan 2α=2,则tan 4α=_____. 【解析】tan 4α= . 答案:- 关键能力·合作学习 类型一 倍角公式的求值问题(数学运算) 【题组训练】 1.sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=_____. 2.计算: =_____. 3.已知cos ,α∈ ,则 =_____. 【解析】1.原式=cos 80°cos 60°cos 40°cos 20°= 答案: 2.原式= . 答案:2 3. =2cos =2sin , 因为0<α< ,所以0< -α< , 又 ,所以 , 所以原式=2× . 答案: 【解题策略】 1.倍角公式正用、逆用解题的关注点 (1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用倍角公式. (2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造倍角公式的形式. 2.条件求值问题的解题实质 条件求值问题的解题实质是对已知条件与要求问题进行化简变形,最终代入已知条件求值;其解题突破口为已知条件与要求问题中角的特点,解题关键在于“变角”,即把“所求角”变为“已知角”. 【补偿训练】 (2020·沈阳高一检测)已知sin = 3cos(2π+α),其中α为锐角, (1)求10sin2 的值; (2)求 ·tan 2α的值. 【解析】化简sin =3cos(2π+α)得sin α= 3cos α,又因为sin2α+cos2α=1且α为锐角, 所以可得cos α= ,sin α= . 且由sin α=3cos α可得tan α=3. (1)10sin2 =10sin2α- cos α-tan α =10× -3=5. (2)因为tan 2α= ; cos 2α-sin 2α=cos2α-sin2α-2sin αcos α , 所以 . 类型二 倍角公式的化简、证明问题(数学运算、逻辑推理) 角度1 化简问题 【典例】化简 =_____. 【思路导引】结合二倍角公式化简求解. 【解析】原式= =2|cos 4| ... ...
