不等式的恒成立问题 经典题型专题练 2025年高考数学二轮复习备考

中小学教育资源及组卷应用平台 不等式的恒成立问题 经典题型专题练 2025年高考数学二轮复习备考 一、单选题 1．若函数有2个零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．若函数在时取得极大值，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4． 若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 5．已知正数满足，则（　　） A． B． C．1 D． 6．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．若，恒成立，则实数的最大值为（　　） A． B．2 C． D． 二、多选题 8．已知函数，，则实数a的值可能是（　　） A．-1 B． C．3 D．e 9．函数在内有最小值，则a的值可以为（　　） A．0 B． C． D． 10．已知直线与曲线相交于不同两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（　　） A． B． C． D． 11．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记若在上恒成立，则函数在上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数是上的增函数，则的最小值为　 　. 13．已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是　 　. 14．已知函数，，若，，则的最大值为　 　． 15．已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是　 　． 16． 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围　 　． 四、解答题 17．已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 18．已知函数 （1）当时，讨论的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围． 19．已知，函数 ． （1）求曲线 在点 处的切线方程： （2）证明 存在唯一的极值点 （3）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围． 答案解析部分 1．C 解： 函数有2个零点， 等价于关于的方程有两个解， 设，则原方程即为，而， 故当时，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，对都有，所以方程至多一个零点，从而不满足条件； 当时，对有，而由知在上单调递增，所以方程至多有一个零点，且该零点属于，从而不满足条件； 当时，由于，且，，，故方程在和上各有一个零点，所以一定有两个零点，从而满足条件， 综上，实数的取值范围是. 2．D 解：函数定义域为， 求导可得， 因为函数在上存在单调递减区间，所以在上有解， 即在上有解， 令，则，且， 当时，，所以； 当时，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，故，所以. 3．C 解：因为的定义域为，且， 令，可得或， 若，即，当或时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则在处取到极小值，不合题意； 若，即，则在定义域内恒成立， 可知在定义域内单调递增，无极值，不合题意； 若，即，当或时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则在处取到极大值，符合题意； 综上所述：实数a的取值范围是. 4．C 解：求导可得， 当，解得；当，解得或， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 若函数在区间上单调， 则或或，解得或或， 即或. 5．A 解：由， 设，求导可得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，故， 当且仅当，即时取等号； 设，则， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故，当且仅当时取等号， 又，则， 此时，则. 6．A 解：对任意两个实数，，且， 因为，所以， 令，则， 由函数的单调性定义可得：函数在上为增函数，， 则在上恒成立，即， 即在上恒成立， 令，因为函数的对称轴为，所以函数在上单调递减， 所以，所以， 即实数a的取值范围为． 7．D 解：当，，不等式成立；当 ... ...