第六章 6.2 平面向量的运算 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

中小学教育资源及组卷应用平台 6.2 平面向量的运算 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册 一、单选题 1．已知均为单位向量且，则在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 2．在平行四边形ABCD中， （　　） A． B． C． D． 3．①；②；③．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．在等边 中，点 在中线 上，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．平行四边形ABCD中，等于（　　） A． B． C． D． 6．下列命题中正确的是（　　） A． B． C． D． 7．设点 是线段 的中点，点 在直线 外， ， ，则 （　　） A．12 B．6 C．3 D． 8．已知 为两非零向量，若 ，则 与 的夹角的大小是（　　） A． B． C． D． 9．已知点 是正方形 的中心，点 为正方形 所在平面外一点，则 （　　） A． B． C． D． 10．在平行四边形中，与交于点是线段OD的中点，的延长线与交于点．若，，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知平面向量 与 的夹角为 ， 在 上的投影是 ，且满足 ，则 　 　. 12．在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为　 　． 13．已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是　 　，最大值是　 　． 14．如图，在边长1为正方形 中， ， 分别是 ， 的中点，则 　 　，若 ，则 　 　. 15．计算： 　 　． 16．已知向量 、 ，且 ， ， ，则A、B、 C 、 D 四点中一定共线的三点是　 　. 三、解答题 17．某人在静水中游泳，速度为 千米/时，现在他在水流速度为4千米/时的河中游泳. （1）若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ （2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 18．已知 与 的夹角为 .求： （1） ； （2） . 19．如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段 的一个靠近点B的三等分点，设 . （1）用向量 与 表示向量 ； （2）若 ，求证：C，D，E三点共线. 20．设 ， 是两个不共线向量，知 ， ， ． （1）证明： 、 、 三点共线 （2）若 ，且 、 、 三点共线，求 的值. 答案解析部分 1．B 解：将式子两边平方： 因此： 即投影向量为， 故答案为：B 2．A 解：由题意得 故答案为：A 3．D 对①，根据向量的加法运算法则可知，故①正确； 对②，，故②正确； 对③，，故③正确. 4．D 因为 ， ， 所以 . 故答案为：D 5．B 在平行四边形ABCD中，，所以， 故答案为：B. 6．D 对于A， ，A不符合题意； 对于B， ，B不符合题意； 对于C， ，C不符合题意； 对于D， ，D符合题意. 故答案为：D. 7．C , 故答案为：C． 8．A 解：因为 ，即所围成的平行四边形的对角线长度相等，故四边形为正方形或长方形，由此可得 的夹角为90°， 故答案为：A. 9．D 因为点 是正方形 的中心，所以 分别为 ， 的中点， 所以在 中， ， 同理，在 中， ， 所以 . 故答案为：D. 10．C ，因为是的中点，，所以， == ， ＝，故选C. 11． 因为平面向量 与 的夹角为 ， 在 上的投影是 ， 所以 ，所以 因为 ，即 ，即 所以 ，解得 所以 ，所以 故答案为： 12． 解：如图所示， △ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2， =2 ， ∴ = + = + = + （ ﹣ ） = + ， 又 =λ ﹣ （λ∈R）， ∴ =（ + ） （λ ﹣ ） =（ λ﹣ ） ﹣ + λ =（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4， ∴ λ=1， 解得λ= ． 故答案为： ． 13．4； 解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图， 由余弦定理可得： | + |= ， | ﹣ |= ， 令x= ，y= ， 则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图， 令z=x+y，则y=﹣x+z， 则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4， 当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大， ... ...