(课件网) 23.3.3 相似三角形的性质 九年级上 1. 掌握相似三角形的性质； 2. 用相似三角形的性质解决简单问题. 学习目标 重点 难点 相似三角形的判定方法有哪几种？ ① 定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似； ② 平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似； ③ 三边成比例的两个三角形相似； ④ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ⑤ 两角分别相等的两个三角形相似； 新课引入 两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论. 例如，在下图中，△ABC 和△A'B'C' 是两个相似三角形，相似比为 k，其中 AD、A'D' 分别为 BC、B'C' 边上的高，那么 AD、A'D' 之间有什么关系？ C A B D C' A' B' D' 新知学习 △ABD 和△A'B'D' 都是直角三角形，且∠B =∠B'，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似. 因此 由此可以得出结论： 相似三角形对应边上的高的比等于相似比. C A B D C' A' B' D' 由 ，可得 由此可以得出结论： 相似三角形面积的比等于相似比的平方. C A B D C' A' B' D' 相似多边形也有相同的结论吗？ 探究 如图，四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，相似比为 k ( k > 0 ). (1) 四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的周长比是多少？ A B D C A′ B′ D′ C′ 解：(1) ∵四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′， ∴ = = = = k . ∴ = k . 即四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的周长比是 k . (2) 连接对应的对角线 BD，B′D′，所得的△BCD 与△B′C′D′ 相似吗？如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？ A B D C A′ B′ D′ C′ 解：(2) ∵四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′， ∴ = = k . ∴ ∴△BCD ∽△B′C′D′. (3) 设△ABD，△A′B′D′，△BCD，△B′C′D′ 的面积分别是 S△ABD，S△A′B′D′，S△BCD，S△B′C′D′，则 ， 各是多少？ A B D C A′ B′ D′ C′ 解：(3) ∵△ABD∽△A′B′D′，△BCD∽△B′C′D′，且相似比都为 k. ∴ =k2， = k2. (4) 四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？ A B D C A′ B′ D′ C′ 解：(4) ∵ =k2， = k2， 又∵S四边形 ABCD = S△ABD + S△BCD， S四边形 A′B′C′D′ = S△A′B′D′ + S△B′C′D′ ， ∴S四边形 ABCD ：S四边形 A′B′C′D′ = k2 即四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的面积比为 k2. 换成五边形，结论一样. 归纳总结 若两个多边形相似： 1.周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方； 2.对应点连线构成的图形都相似，且等于原相似比. 思考 如图，△ABC 和△A'B'C' 相似，相似比为k，AD、A'D' 分别为对应边上的中线，BE、B'E' 分别为对应角的平分线，那么它们之间是否有与对应边上的高类似的关系？这两个三角形的周长又有什么关系呢？ C A B D E C' A' B' D' E' C A B D E C' A' B' D' E' 猜想： 相似三角形对应角的平分线之比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线之比等于相似比. 相似三角形的周长之比等于相似比. 试着证明你的猜想. C A B D E C' A' B' D' E' 证明 相似三角形对应角的平分线之比等于相似比. 证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′ 又BE平分∠BAC，B′E′平分∠B′A′C′， ∴∠ABE=∠A′B′E′ ∴△ABE∽△A′B′E′ 证明 相似三角形对应边上的中线之比等于相似比. C A B D E C' A' B' D' E' 证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴∠ABC=∠A′B′C′， ∵ AD、A'D' 为中线， ∴△ABD∽△A′B′D′ ∴BD=B'D' 证明 相似三角形的周长之比等于相似比. C A B D E C' A' B' D' E' 证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′ 可以 ... ...
