华东师大版数学九年级上册24.2 直角三角形的性质 素养提升练（含解析）

第24章　解直角三角形 24.2　直角三角形的性质 基础过关全练 知识点1　直角三角形斜边上的中线的性质 1.(2023河南周口淮阳期末)如图,木杆AB斜靠在墙壁上,P是AB的中点,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动,则下滑过程中OP长度的变化情况是 (　　) A.逐渐变大　 B.不断变小 C.不变　D.先变大再变小 2.【新考法】(2023海南海口九中海甸分校月考)一副三角板按如图所示的位置摆放,△BDE的直角边BD恰好经过Rt△ABC中斜边AC的中点M,BE交AC于点F, 则∠BFM=　　　°. 3.【新独家原创】如图,已知点D是△ABC中边AB的中点,∠ACB=∠A+∠B,AC=6,BC=8,求CD的值. 4.【一题多变】(2023山西晋城陵川月考)已知:如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE是AB边上的中线,G是CE的中点,DG⊥CE于点G.求证:∠B=2∠BCE. [变式](2023湖南衡阳华新实验中学期中)如图,BD、CE是△ABC不同边上的高,点G、F分别是BC、DE的中点,试证明GF⊥DE. 知识点2　含30°角的直角三角形的性质 5.【新情境·衣架】(2023山西吕梁汾阳期末)如图,衣架框内部可以近似地看成一个等腰三角形,记为等腰三角形ABC,若AB=AC=26 cm,D是BC的中点,∠ABC=30°,则AD的长为 (　　) A.11 cm　B.12 cm　C.13 cm　D.14 cm 6.(2023吉林长春绿园期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8.若E、F是BC边上的两个动点,以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC的内部或边上,则等边△EFP的周长的最大值为　　　. 7.【新情境·双翼闸门】(2023河南许昌禹州期中)图1是某超市门口的双翼闸门,当它的双翼展开时,如图2,双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm,双翼的边缘AC=BD=62 cm,且与闸机箱侧立面的夹角∠ACP=∠BDQ=30°.求当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度. 图1　　图2 能力提升全练 8.【跨学科·物理】(2022山西长治模拟,6,★★)如图,在长方形台球桌上打台球时,如果击打黑球时入射角∠1=30°,恰好使黑球在上边框的点A处反弹后进入袋中,点A到右边框BC的距离为3,则黑球从点A到进袋所走过的路径AC约为(　　) A.3　 B.4　 C.5　 D.6 9.(2022辽宁大连中考,9,★★)如图,在△ABC中,∠ACB=90°.分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN.直线MN与AB相交于点D,连结CD,若AB=3,则CD的长是 (　　) A.6　 B.3　C.1.5　D.1 10.(2023河南开封金明中学期末,15,★)如图,已知∠AOB=60°,点P在OA边上,OP=12 cm,点E、F在边OB上,且PE=PF,若EF=2 cm,则OE=　　　cm. 11.(2023陕西西安碑林模拟,13,★★)如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠CAB=30°,以AC为斜边作Rt△ADC.使∠ADC=90°,∠CAD=∠CAB,E、F分别是BC、AC的中点,连结EF、DE、DF,则DE的长为　　　. 12.(2023河南鹤壁淇滨期中)如图所示,一轮船由西向东航行,早上8点,在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上,以每小时20海里的速度继续向东航行,10点到达B处,并测得小岛P在北偏东60°的方向上,已知小岛周围22海里内有暗礁,若轮船仍向前航行,有无触礁的危险 13.(2023四川资阳安岳期末)已知:如图,在△ABC中,∠B=30°,∠ACB=45°,AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线. (1)求证:AE=CD; (2)求∠ACE的度数. 14.(2023吉林长春净月期末)如图,在Rt△ADB和Rt△ABC中,∠ADB=90°,∠ACB=90°,E是AB的中点. (1)求证:DE=CE; (2)若∠CAB=30°,∠DBA=40°,求∠DEC的度数. 素养探究全练 15.【推理能力】如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,点E是AC的中点,点F是BD的中点. (1)求证:EF⊥BD; (2)若∠BED=90°,求∠BCD的度数; (3)若∠BED=α,直接写出∠BCD的度数.(用含α的代数式表示) 答案全解全析 基础过关全练 1.C　∵P是AB的中点,∠AOB=90°,∴OP=AB, ∵木杆AB的长固定,∴OP的长度不变. 2.75 解析　本题借助一副三角板考查直角三角形斜边上 ... ...