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课件网) 4 线段的垂直平分线 第十章 三角形的有关证明 知识点1 线段垂直平分线的性质定理 基础过关练 1.如图所示,AC垂直平分BD,若AB=3 cm,CD=5 cm,则四边形 ABCD的周长是 ( ) A.11 cm B.13 cm C.16 cm D.18 cm C 解析 ∵AC垂直平分BD, ∴AD=AB=3 cm,BC=CD=5 cm, ∴四边形ABCD的周长=AD+AB+BC+CD=16 cm. 故选C. 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=42°,AB的垂直平分线MN交 AC于D点,连接BD,则∠DBC的度数是 ( ) A.22° B.27° C.32° D.40° B 解析 ∵AB=AC,∠A=42°, ∴∠ABC= (180°-∠A)= ×(180°-42°)=69°, ∵MN垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=42°, ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=69°-42°=27°.故选B. 3.如图,∠ABC=90°,∠C=15°,线段AC的垂直平分线DE交AC 于D,交BC于E,CE=10 cm,则AB= ( ) A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.不能确定 B 解析 ∵DE垂直平分AC,∴AE=CE=10 cm,∴∠EAC=∠C= 15°,∴∠AEB=30°,∵∠ABC=90°,∴AB= AE=5 cm,故选B. 4.(2022内蒙古鄂尔多斯中考)如图,在△ABC中,边BC的垂直 平分线DE交AB于点D,连接DC,若AB=3.7,AC=2.3,则△ADC 的周长是 . 6 解析 ∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D, ∴BD=CD,∵AB=3.7,AC=2.3, ∴△ADC的周长为AD+CD+AC=AB+AC=6,故答案为6. 方法归纳 线段垂直平分线的性质定理是证明两条线段相等的重要依 据,在证明线段相等时,不必证明两个三角形全等,可以直接 运用该定理得到线段相等的结论. 5.(2024山东菏泽定陶期末)如图,在△ABC中,AB的垂直平分 线EF交BC于点E,交AB于点F,点D为CE的中点,连接AD,此时 ∠CAD=24°,∠ACB=66°.求证:BE=AC. 证明 如图,连接AE, ∵∠ACB=66°,∠DAC=24°, ∴∠ADC=180°-∠DAC-∠ACB=180°-24°-66°=90°, ∴AD⊥EC,∵点D为CE的中点,∴DE=DC, ∴直线AD是线段CE的垂直平分线,∴AE=AC, ∵EF垂直平分AB,∴AE=BE,∴BE=AC. 知识点2 线段垂直平分线的判定定理 6.已知C,D是线段AB外不重合的两点,AC=BC,AD=BD,点P在 直线CD上.若AP=5,则BP的长为( ) A.2.5 B.5 C.10 D.25 B 解析 ∵C,D是线段AB外不重合的两点,AC=BC,AD=BD, ∴直线CD是线段AB的垂直平分线, ∵点P在直线CD上,AP=5,∴BP=AP=5,故选B. 7.(一题多解)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上 的一点,EH垂直平分BD,连接DE交AC于F,求证:点E在线段 AF的垂直平分线上. 证明 【证法一】∵EH垂直平分BD, ∴BE=DE,EH⊥BD,∴∠BEH=∠DEH, ∵∠ACB=90°,∴AC⊥BD,∴EH∥AC, ∴∠BEH=∠A,∠DEH=∠AFE, ∴∠A=∠AFE,∴AE=EF, ∴点E在线段AF的垂直平分线上. 【证法二】∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°,∠D+∠DFC=90°, ∵EH垂直平分BD,∴EB=ED, ∴∠B=∠D,∴∠A=∠DFC,∵∠DFC=∠AFE, ∴∠A=∠AFE,∴EA=EF,∴点E在线段AF的垂直平分线上. 知识点3 三角形三条边的垂直平分线的性质 8.(2024广东河源紫金月考)某公园有一块三角形草坪ABC,如 图,现准备在该草坪内种植一棵树,使得该树到△ABC三个顶 点的距离相等,则该树应种在△ABC ( ) A.三条边的垂直平分线的交点处 B.三个角的角平分线的交点处 C.三条高的交点处 D.三条中线的交点处 A 解析 ∵线段垂直平分线上任意一点到该线段两端点的距 离相等,∴到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC三条 边的垂直平分线的交点,故选A. 能力提升练 9.(2024山东德州宁津期末,7,★★)如图,△ABC中,AB=AE,且AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,若△ABC的周长为16,AC=6,则DC的长为( ) A.5 B.8 C.9 D.10 A 解析 ∵△ABC的周长为16,∴AB+BC+AC=16, ∵AC=6,∴AB+BC=10, ∵EF垂直平分AC,∴EA=EC, ∵AB=AE,AD⊥BC,∴BD=DE, ∴AB+BD=AE+DE= (AB+BC)=5, ∴DC=DE+EC=AE+DE=5,故选A. 10.(2024山 ... ...
