15.1二次根式 第2课时 一、教学目标 知识目标 1.理解和掌握积(商)的算术平方根的性质. 2.会利用积(商)的算术平方根的性质对根式进行化简. 3.理解最简二次根式的概念,并能把一个不是最简二次根式的二次根式化为最简二次根式. 能力目标 1.运用类比的方法,学习积(商)的算术平方根的性质. 2.采用从具体到抽象的方法增强学生对两公式的理解. 情感与价值观目标 培养学生探索事物之间内在联系学习习惯,使学生获得成功的喜悦. 二、教学重点 难点 重点1.积(商)的算术平方根的性质. 2.最简二次根式的概念. 难点 能利用积(商)的算术平方根的性质化简二次根式. 三、教学过程 （一）情景导入 1、一块正方形木板面积为200 cm2,你能在不用计算器的情况下,以最快的速度求出正方形木板的边长吗 设计意图 学生在已有经验的基础上直接开平方,发现200直接开平方不是整数,从而无法确定具体数值,引出问题,为学习后面的内容创设情境. 2、复习提问 教师提问: (1)什么是二次根式 二次根式的被开方数需满足什么条件 (2)我们学过二次根式的哪些简单性质 设计意图 简单回顾上节所学内容,既起到了巩固的作用,又为本节课性质的学习做好铺垫,进而让学生体会到知识之间的联系. （二）学习新知 一起探究 1、积的算术平方根 问题1: 计算下列各式,并观察结果,你能发现什么规律 (1)与; (2)与. 学生计算,得出(1)(2)中两式均相等. 问题2: 猜想:与有什么关系 组织学生计算,验证猜想:(分组尝试,讨论交流) 方法一:事实上,根据积的乘方法则,有()2=()2×()2=2×5,并且>0,所以是2×5的算术平方根,即. 方法二:因为()2=()2×()2=2×5,()2=2×5,且>0,>0,所以. 问题3: 当a≥0,b≥0时,对和·的关系提出你的猜想,并说明理由. 指导学生仿照问题2的证明过程加以证明. 解:因为当a≥0,b≥0时,()2=a·b,(·)2=()2·()2=a·b,所以·. 引导学生进行归纳得出:积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即·(a≥0,b≥0). 知识拓展 积的算术平方根的性质可以推广到多个非负因数的情况.如···(a≥0,b≥0,c≥0,d≥0). 设计意图 尽管学生能够猜想出结果,但还是缺乏必要的说理,再次引出问题,让学生交流讨论,碰撞出火花,体会数学的严谨性与科学性. 探究2:商的算术平方根 问题1: 与是否相等 与呢 学生经过计算得出两个式子均相等. 问题2: 对照刚才得到的结论,当a≥0,b>0时,与有什么关系 并说明理由. 学生不难猜想得到(a≥0,b>0). 引导学生根据刚才的证明过程加以证明. 解:因为当a≥0,b>0时,,,所以 . 问题3:对照积的算术平方根的性质,你能总结出商的算术平方根的性质吗 引导学生归纳:商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即 (或)(a≥0,b>0) 设计意图 培养学生用类比的思想和方法探究新知及从特殊到一般的归纳概括的能力. 观察与思考 化简. (1); (2); (3); (4). 〔解析〕 (1)(2)直接利用·(a≥0,b≥0)进行化简;(3)(4)利用(a≥0,b>0)进行化简. 解:(1)=3. (2)=4. (3). (4). 观察例题中每个小题化简前后被开方数的变化,请思考: (1)化简前,被开方数是怎样的数 (2)化简后,被开方数是怎样的数 它们还含有能开得尽方的因数吗 归纳:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式. 说明:二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程. 提出问题:在,3,,,,3,中,哪些是最简二次根式 为什么 把“提出问题”中不是最简二次根式的化成最简二次根式. 3、例题讲解 例1、化简. (1); (2); (3); (4). 解:(1)=3. (2)=4. (3). (4). 设计意图 巩固积(商)的算术平方根的性质,通过对最简二次根式的探究,培养学生探索数学规律的能力,强化训练,提高能力. 四、课堂小结 积的算术平方根 积的算术平 ... ...
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