人教B版（2019）必修第三册8.1.3向量数量积的坐标运算 （共17题） 一、选择题（共10题） 已知 的模为 ，且 在 方向上的投影数量为 ，则 与 的夹角 A． B． C． D． 已知向量 ，且 ，则向量 可以是 A． B． C． D． 已知平面向量 ，，且 ，则 A． B． C． D． 若平面向量 与 的夹角为 ，，，则 等于 A． B． C． D． 同一平面上三个单位向量 ，， 两两夹角都是 ，则 与 的夹角是 A． B． C． D． 在梯形 中，，，，，若点 在线段 上，则 的最小值为 A． B． C． D． 已知单位向量 与 的夹角为 ，则向量 在向量 上的投影数量为 A． B． C． D． 如图， 为半圆的直径，点 为 的中点，点 为线段 上的一点（含端点 ，），若 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 设 ，，，则 A． B． C． D． 已知两个不相等的非零向量 ，，两组向量 ，，，， 和 ，，，， 均由 个 和 个 排列而成，记 ， 表示 所有可能取值中的最小值， 表示 所有可能取值中的最大值，下列说法中正确的个数是 ① 有 个不同的值； ②若 ，且 ，则 ； ③若 ，则 ； ④若 ，，则 与 的夹角为 ． A． B． C． D． 二、填空题（共4题） 如图，在等腰三角形 中，已知 ，，， 分别是 ， 上的点，且 ，，其中 ，且 ，若线段 ， 的中点分别为点 ，，则 的最小值是 ． 已知 ，且 ，则 ． 已知平面向量 ，，， 满足 ，，，．记向量 在 ， 方向上的投影分别为 ，， 在 方向上的投影为 ，则 的最小值为 ． 已知非零向量 ，，，满足 ，，，则对任意实数 ， 的最小值为 ． 三、解答题（共3题） 已知向量 ，，． (1) 若 ，求 的值； (2) 当 时， 与 共线，求 的值； (3) 若 ，且 与 的夹角为 ，求 ． 如图，， 分别是 的边 ， 上的点，且 ，， 与 交于点 ． (1) 若 ，求 的值； (2) 若 ，，，求 的值． 若 ，， 均为单位向量，且 ，，求 的最大值． 答案 一、选择题（共10题） 1. 【答案】A 【解析】因为 ， 在 方向上的投影数量为 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 与 的夹角 ． 2. 【答案】A 3. 【答案】C 【解析】因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，故选C． 4. 【答案】B 【解析】因为平面向量 与 的夹角为 ，，， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 5. 【答案】D 【解析】由题意知，，， 所以 ． 设 与 的夹角为 ， 则 ， 又 ， 所以 与 的夹角为 ． 6. 【答案】B 【解析】建立如图所示平面直角坐标系： 因为 ，，，， 所以 ，，， 设 ，， 所以 ， 所以 ， 所以 ，， 所以 当 时， 的最小值为 ． 7. 【答案】A 【解析】因为单位向量 与 的夹角为 ， 所以 ， ，，． 故 ，则向量 在向量 上的投影数量为 ． 8. 【答案】D 9. 【答案】C 10. 【答案】C 【解析】因为 ， 均由 个 和 个 排列而成， 所以 可能情况有三种： ① ； ② ； ③ （记 ），故①错误； 若 ，且 ，则 ， 所以 ， 所以 ，故②正确； 若 ，则 ， 所以 ，故③正确； 若 ，则 ， ， ， 因为 ， ， 所以 ， 解得 ，又 ， 所以 ，即 与 夹角为 ，故④正确； 故正确的为②③④． 二、填空题（共4题） 11. 【答案】 【解析】根据题意，连接 ，，如图所示． 在等腰三角形 中，已知 ，， 则由向量的数量积运算可知 ． 线段 ， 的中点分别为点 ，， 则 ， ． 由平面向量的线性运算可得 ， 所以 因为 ，代入化简可得 ． 因为 ， 所以当 时， 取得最小值 ， 所以 ． 12. 【答案】 【解析】如图所示， ，， 在 中，，， 所以 ． 13. 【答案】 【解析】由题意，设 ，，， 则 ，即 ， 又向量 在 ， 方向上的投影分别为 ，， 所以 ， 所以 在 方向上的投影 ， 即 ， 所以 ， 当且仅当 即 时，等号成立， 所以 的最小值为 ． 14. 【答案】 【解析】依题意得 ，． 又 ． 因此 ． 如图， 令 ，，，，，， 则点 的轨迹是与 的 ... ...
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