椭圆的简单几何性质 同步练习

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 椭圆的简单几何性质 同步练习 （一） 1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于(　　) A.　　　 B. C. D. 解析：选D.由题意知，2a＝4b，又b2＝a2－c2， 得到4c2＝3a2，e2＝，e＝. 2．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝(　　) A. B. C．2 D．4 解析：选A.将椭圆方程化为标准方程为x2＋＝1， ∵焦点在y轴上，∴＞1，∴0＜m＜1. 由方程得a＝，b＝1. ∵a＝2b，∴m＝. 3．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是(　　)21cnjy.com A. B. C. D. 解析：选A.设|AF1|＝1，由△ABF2是正三角形知，|AF2|＝2，|F1F2|＝， ∴椭圆的离心率e＝＝＝＝. 4．如图所示，边长为a的正方形组成的网格中，设椭圆C1，C2，C3的离心率分别为e1，e2，e3，则(　　)2·1·c·n·j·y A．e1＝e2＜e3 B．e2＝e3＜e1 C．e1＝e2＞e3 D．e2＝e3＞e1 解析：选D.由题意，可得e＝＝＝，e＝＝＝，而e＜＝＝，故e2＝e3＞e1.【来源：21·世纪·教育·网】 5．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2,0)的椭圆的方程是(　　) A.＋y2＝1 B.＋y2＝1或x2＋＝1 C．x2＋4y2＝1 D．x2＋4y2＝4或4x2＋y2＝16 解析：选D.若焦点在x轴上，则a＝2.又 出卷网e＝，∴c＝.∴b2＝a2－c2＝1，∴方程为＋y2＝1，即x2＋4y2＝4；若焦点在y轴上，则b＝2.又e＝，∴＝1－＝，∴a2＝4b2＝16，∴方程为＋＝1，即4x2＋y2＝16.21教育网 6．椭圆x2＋4y2＝16的短轴长为_____． 解析：由＋＝1可知b＝2， ∴短轴长2b＝4. 答案：4 7．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于_____．2-1-c-n-j-y 解析：根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9(舍去)． 所以a＝5，c＝4，故e＝＝. 答案： 8．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是_____． 解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，因此可设待求椭圆为＋＝1. 又b＝2，故m＝20，得＋＝1. 答案：＋＝1 9．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝. (2)椭圆C2：＋＝1， 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称； ③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④离心率：e＝. 10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求椭圆的标准方程．21世纪教育网版权所有 解：e＝＝＝， ∴＝.∴a2＝3b2，即a＝b. 过A(0，－b)，B(a,0)的直线为－＝1， 把a＝b代入，即x－y－b＝0. 又由点到直线的距离公式得 ＝，解得：b＝1，∴a＝. ∴所求方程为＋y2＝1. （二） 1．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)21·世纪*教育网 A．2 B．3 C．6 D．8 解析：选C.由题意得F(－1,0)，设点P(x0，y0)， 则y＝3(1－)(－2≤x0≤2)， ·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3(1－)＝(x0＋2)2＋2， 当x0＝2时，·取得最大值为6. 2．在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝_____.21·cn·jy·com 解析：如图，切线PA、PB互相垂直，半径OA垂直于PA， 所以△OAP是等腰直角三角形， 故＝a， 解得e＝＝. 答案： 3．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点 ... ...