椭圆的简单几何性质 教案

椭圆的简单几何性质 教案 教学目标：1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）； 2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响. 教学重、难点：目标1；数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质. 教学过程： （一）复习： 1．椭圆的标准方程. 1．范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标满足不等式， ∴，，∴，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里. 2．对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称. 所以，椭圆关于轴、轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心. 3．顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令， 得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是 椭圆与轴的两个交点. 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点. 同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长. 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即． 4．离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率. ∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。 当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为． 5、准线方程：当焦点在x轴时，，当焦点在y时， （三）例题分析： 例1、求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。 解：把已知方程化为标准方程，，， ∴， ∴椭圆长轴和短轴长分别为和，离心率， 焦点坐标，，顶点，，，． 练习、过适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长等于，离心率等于； （2）和椭圆共准线，且离心率为。 解：（1）由已知，， ∴，，∴， 所以，椭圆的标准方程为或． （2）椭圆的标准方程为 例2．已知椭圆，直线l：4x-5y+40=0，椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？（课本47页例7） 练习：对不同的实数m，讨论直线y=x+m与椭圆的公共的个数。 五．小结：椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）．