4.2导数的乘法与除法法则（含解析）

4.1　导数的加法与减法法则~4.2　导数的乘法与除法法则 A级 必备知识基础练 1.[2023江西高二校联考期中]衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若f'(x)是f(x)的导函数,f″(x)是f'(x)的导函数,则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=.函数f(x)=3ln x的图象在(1,f(1))处的曲率为(　　) A. B. C. D. 2.函数f(x)=xcos x-sin x的导函数是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数,又不是偶函数 3.(多选题)[2023安徽合肥工业大学附属中学联考期中]下列选项正确的是(　　) A.y=ln 2,则y'= B.f(x)=,则f'(3)=- C.(x3ex)'=3x2ex+x3ex D.'= 4.(多选题)[2023河南南阳高二统考期中]若f(x)=cos x+2xf',则(　　) A.f'=- B.f' C.f'=1- D.f'=1+ 5.已知函数f(x)=f'cos x+sin x,则f的值为　　　　. 6.求下列函数的导数: (1)f(x)=(1+sin x)(1-4x); (2)f(x)=-2x(x≠-1); (3)y=x·tan x. B级 关键能力提升练 7.设曲线f(x)=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于(　　) A.2 B. C.- D.-2 8.(多选题)[2023广东广州花都圆玄中学校考期中]已知函数f(x)=x++2,则(　　) A.f(x)的值域为[6,+∞) B.直线3x+y+6=0是曲线y=f(x)的一条切线 C.f(x-1)图象的对称中心为(1,2) D.方程f2(x)-5f(x)-14=0有三个实数根 9.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)-3f'(3)=(　　) A.1 B.0 C.2 D.4 10.(多选题)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值可以是 (　　) A.1 B. C. D.- 11.(多选题)[2023江苏连云港高二校考期末]关于切线,下列结论正确的是(　　) A.过点且与圆x2+y2=1相切的直线方程为x-y+2=0 B.过点(1,2)且与抛物线y2=4x相切的直线方程为x-y+1=0 C.过点(0,-1)且与曲线f(x)=xln x相切的直线l的方程为x-y+1=0 D.曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为5x-y+2=0 12.曲线y=ln x+1在点(1,1)处的切线也为y=ex+a的切线,则a=　　　　　. 13.如图所示的图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f'(x)的图象,则这个图象的序号是　　　　　,f(-1)=　　　　　. 14.已知函数y=x2ln x. (1)求这个函数的图象在x=1处的切线方程; (2)若过点(0,0)的直线l与这个函数图象相切,求l的方程. 15.偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求f(x)的解析式. C级 学科素养创新练 16.(1)若函数f(x)=(x-2 019)(x-2 020)(x-2 021)(x-2 022),则f'(2 021)=(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 (2)设函数y=f″(x)是y=f'(x)的导数,经过探究发现,任意一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象都有对称中心(x0,f(x0)),其中x0满足f″(x0)=0,已知函数f(x)=2x3-3x2+9x-,则f+f+f+…+f=(　　) A.2 021 B. C.2 022 D. 参考答案 §4　导数的四则运算法则 4.1　导数的加法与减法法则~ 4.2　导数的乘法与除法法则 1.D　因为f(x)=3lnx,所以f'(x)=,f″(x)=-, 所以f'(1)=3,f″(1)=-3, 所以K==3×1. 故选D. 2.B　f'(x)=(xcosx)'-(sinx)'=cosx-xsinx-cosx=-xsinx. 令F(x)=-xsinx,x∈R, 则F(-x)=xsin(-x)=-xsinx=F(x), ∴f'(x)是偶函数. 3.BC　对于A,y=ln2,则y'=0,故A错误; 对于B,f(x)==x-2,则f'(x)=-,f'(3)=-,故B正确; 对于C,(x3ex)'=(x3)'·ex+x3·(ex)'=3x2ex+x3ex,故C正确; 对于D,'=,故D错误. 故选BC. 4.BC　由f(x)=cosx+2xf'可得f'(x)=-sinx+2f', 令x=,则f'=-sin+2f', 解得f'=sin,故B正确,A不正确; 所以f'(x)=-sinx+1,令x=,则f'=-sin+1=-+1,故C正确,D不正确.故选BC. 5.1　∵f'(x)=-f'sinx+cosx, ∴f'=-f'×, 解得f'=-1, ∴f(x)=(-1)cosx+sinx,∴f=1. 6.解 (1)f'(x)=(1+sinx)'(1-4x)+(1+sinx)(1-4x)'=cosx(1-4x)-4(1+sinx)=cosx-4xcosx ... ...