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课件网) 二、变上限定积分 第五章 定 积 分 第二节 微积分的基本公式 三、微积分的基本公式 一、导语 一、导语 我们从两个角度研究同一个问题： 质点作直线运动的路程问题. 具有速度 v = v(t)的质点由时刻T1到T2所经过的路程从定积分角度研究应为 从物理学角度看应等于 又由微分学知道 两者应该相等，即 从这一结果能否推知一般情况： 如果F(x)是 f (x)的一个原函数，即 这就是牛顿———莱布尼茨所建立的微分基本公式，它把定积分与原函数联系起来了. 则有 二、变上限定积分 如果 x 是区间 [a, b]上任意一点，定积分 表示曲线 y = f (x) 在部分区间 [a, x] 上曲边梯形AaxC 的面积， 如图中阴影部分所示的面积. 当 x 在区间 [a, b] 上变化时, 阴影部分的曲边梯形面积也随之变化， 所以变上限定积分 y x y = f (x) a x b O A C B 是上限变量 x 的函数. 记作 (x)， 即 ≤ ≤ (x) 定理 1 若函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续， 则变上限定积分 在区间 [a, b] 上可导， 并且它的导数等于被积函数， 即 证 按导数定义， 给自变量 x 以增量 x，x + x [a, b]， 由 (x) 的定义得对应的函数 (x) 的量 (x)， 即 (x) = (x + x) - (x) x + x A C b B y = f (x) x y x a O (x) 根据积分中值定理知道，在 x 与 x + x 之 间至少存在一点 x ， (x) 又因为 f (x) 在区间 [a, b] 上连续， 所以，当 x 0 时有 x x， f (x) f (x)， 从而有 (x) 故 使 成立. 定理 1 告诉我们， 是函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的一个原函数， 这就肯定了连续函数的原函数是存在的， 所以，定理 1 也称为原函数存在定理. 变上限定积分 例 1 求 (x). 解 根据定理 1，得 例 2 求 F (x). 解 这是变下限定积分，应化为变上限后再 用定理 1. 例 3 求 (x). 解 (x) 例 4 解 三、微积分的基本公式 定理 2 如果函数 f (x) 在区间[a, b]上连续， F(x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上任一原函数， 那么 证 由定理 1 知道 f (x) 在 [a, b] 上的一个原函数， 又由题设知道 F(x) 也是 f (x) 在 [a, b] 上一个原函数， 由原函数的性质得知，同一函数的两个不同原函数只相差一个常数， 即 把 x = a 代入①式中， 则，常数 C = F(a)， 于是得 ① ≤ ≤ 令 x = b 代入上式中， 移项，得 再把积分变量 t 换成 x， 为了今后使用该公式方便起见，把 ② 式右端的 这样 ② 式就写成如下形式： 得 ② 例 5 计算下列定积分. 解 解 把被积函数化简. 例 6 计算 . d ) ( 3 1 , e 1 0 , ) ( 3 0 3 x x f x x x x f x ò í ì < < = - 计算 ， ， 设函数 例 7 ≤ ≤ 解
