(
课件网) 二、定积分的换元积分法 第五章 定 积 分 第三节 定积分的换元积分法 与分部积分法 三、定积分的分部积分法 一、导语 一、导语 例1 计算 令 x = sint, 则dx = costdt, 于是有 解 首先求不定积分 用不定积分换元积分法. 再计算定积分 过程冗长，使用不便. 事实上，当x = 0，1时，对应的t = 0， . 由此计算过程可简化如下： 代入到 中，结果一样. 令x = sint，且将上、下限对应地变换 二、定积分的换元积分法 定理 若函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续． 函数 x = j(t) 在区间 [a, b ]上单调且有连续导数 j (t)， 当 t 在[a, b](或[b, a])上变化时， x = j(t) 的值在[a, b]上变化， 且 j(a) = a，j(b) = b(或j(a) = b，j (b ) = a ) 则 证 因为 f (x) 在区间[a, b]上连续， 所以它可积. 设 F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 则由牛顿 - 莱布尼茨公式得 由不定积分换元法得知 于是 例 2 计算 解 用定积分换元法. 则 x = t2 ， dx = 2tdt， 于是 例 3 计算 解 则 x = ln(t2 - 1) ， 于是 x t ln3 ln8 2 3 例 4 计算 解 则 于是 x t 0 1 0 例 5 设函数 f (x) 在对称区间[- a, a]上连续， 求证： (2) 当 f (x) 为偶函数时， (3) 当 f (x) 为奇函数时， 证 (1) 根据定积分性质 3， 则 则 ① (1) 得 对①式右端第一个积分用换元积分法， 令 x = - t， 则 dx = - dt， x t -a 0 a 0 ， 于是 把 ② 式代入 ① 式中，得 ② (2) 因为 f (x) 是偶函数，即 f (- x) = f (x)， 得 (3) 因为 f (x) 是奇函数，即 f (- x) = - f (x)， 得 例 6 计算 解 易知 因此 且积分区间对称于原点， 例 7 证明 证 根据三角函数关系 则 dx = - dt ， x t 0 0 ， 于是 特别地，当 f (sinx) = sinnx 时， n 为正整数，有 设函数 u = u(x)， v = v(x) 在区间 [a, b] 上具有连续导数， 三、定积分的分部积分法 则 即 由不定积分的分部积分法， 得 即 u = u (x)， v = v (x) 连续， 解 根据定积分的分部积分公式得 例 8 计算 解 根据定积分的分部积分公式得 例 9 计算 解 用定积分的分部积分法. 例 10 计算 把上式看作以 In 为未知量的方程， 解之，得 即 称它为递推公式. 当 n 为偶数时，有 代入上式中，得 当 n 为奇数时，有 代入上式，得 解 令 x = sin t， 例 11 计算 则 dx = cos tdt， x t 0 1 0 ， 于是有
