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课件网) 一、无穷区间的反常积分 第五章 定 积 分 第四节 反 常 积 分 二、无界函数的反常积分 一、无穷区间的反常积分 例 1 求由曲线 y = e-x， y 轴及 x 轴所围成开口曲边梯形的面积. 解 这是一个开口曲边梯形， 为求其面积，任取 b [0, + )， 在有限区间 [0, b] 上， 以曲线 y = e- x为曲边的曲边梯形面积为 b y = e-x y x O (0,1) 开口曲边梯形的面积 y = e-x y x b O (0,1) 即 当 b + 时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积， 定义 1 设函数 f (x) 在 [a, + )上连续， 取实数 b > a， 如果极限 则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + ) 上的反常积分， 这时也称反常积分收敛， 记作 即 存在， 否则称反常积分发散. 定义 2 设函数 f (x) 在 (- , b] 上连续， 取实数 a > b， 如果极限 则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- , b] 上的反常积分， 这时也称反常积分收敛， 记作 即 存在， 否则称反常积分发散. 定义 3 设函数 f (x) 在 (- , + ) 内连续， 且对任意实数 c， 如果反常积分 则称上面两个反常函数积分之和为 f (x) 在无穷区间 (- , + ) 内的反常积分， 这时也称反常积分收敛， 记作 即 都收敛， 否则称反常积分发散. 若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记 则定义 1，2，3 中的反常积分可表示为 例 2 求 解 例 3 判断 解 由于当 x + 时，sin x 没有极限，所以反常积分发散 . 例 4 计算 解 用分部积分法，得 例 5 判断 解 故该积分发散. 例 6 证明反常积分 当 p > 1 时，收敛；当 p ≤ 1 时，发散 . 证 p = 1 时，则 所以该反常积分发散. 当 p > 1 时， 综合上述， 该反常积分收敛. 当 p ≤ 1 时， 该反常积分发散. p 1 时，则 二、无界函数的反常积分 定义 4 设函数 f (x) 在区间 (a, b] 上连续， 取 e > 0 ， 如果极限 则称此极限值为函数 f (x) 在区间 (a, b] 上的反常积分， 这时也称反常积分收敛， 否则称反常积分发散. 且 记作 即 存在， 定义 5 设函数 f (x) 在区间 [a, b) 上连续， 取 e > 0 ， 如果极限 则称此极限值为函数 f (x) 在区间 [a, b) 上的反常积分. 这时也称反常积分收敛， 否则称反常积分发散. 且 即 存在， 定义 6 设函数 f (x) 在 [a, b]上除点 c (a, b) 外连续， 如果下面两个反常积分 则称这两个反常积分之和为函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的反常积分， 这时也称反常积分收敛， 否则，称反常积分发散. 记作 即 都收敛， 若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数， 则定义 4，5，6 中的反常积分可表示为 例 7 判断 解 故积分的收敛. 例 8 讨论反常积分 解 当 p = 1 时， 则 故积分发散. 当 p 1 时 综上所述，得：当 p < 1 时，该反常积分收敛， ≥ ... ...
