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课件网) 一、引进定积分概念的两个例子 第五章 定 积 分 第一节 定积分的概念与性质 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质 一、引进定积分概念的两个例子 1.曲边梯形的面积 曲边梯形：在直角坐标系下， 由闭区间[a, b]上的连续曲线 y = f (x) ≥ 0， 直线 x = a，x = b 与 x 轴围成的平面图形 AabB. y x O a b A B x = a x = b y = f (x) 基于这种想法， 可以用一组平行于 y 轴的直线 把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形， 只要分割得较细， 每个小曲边梯形很窄， 则其高 f (x) 的变化就很小. 这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底， 底上某点函数值为高的矩形， 曲线 y = f (x) 是连续的， 所以，当点 x 在区间 [a, b] 上某处变化很小时， 则相应的高 f (x) 也就变化不大. 显然，分割越细， 近似程度就越高， 当无限细分时， 则所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积， 进而用所有小矩形面积之和近似代替整个曲边梯形面积. (1) 分割 在区间[a, b]内任意插入 n – 1 个分点： a = x0 < x1 < x2 < ··· < xi-1 < xi < ··· < xn-1 < xn = b， 把区间[a, b]分成 n 个小区间： [x0, x1]，[x1, x2]，· · · ，[xi-1, xi ]，· · · ，[xn-1, xn]. 这些小区间的长度分别记为 xi = xi – xi -1 (i = 1, 2, ··· , n). 过每一分点作平行于 y 轴的直线， 它们把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形. 根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积. a = x0 x1 xi-1 xn= b O y = f (x) y B A x xi O y B A x (2) 近似代替 在每个小区间 [xi-1, xi](i = 1, 2, · · · , n)上取一点 xi (xi-1 ≤xi ≤ xi), 以 f(xi)为高， xi 为底作小矩形， 用小矩形面积 f (xi) xi 近似代替相应的小曲边梯形面积 Ai ， 即 Ai f (xi) xi (i = 1, 2, · · · , n) . x1 x2 xi xn x O y = f (x) y B A a = x0 x1 xi-1 xn= b xi (4) 取极限 当分点个数 n 无限增加， 即 (3) 求和 把 n 个小矩形面积加起来， 它就是曲边梯形面积的近似值， 即 且小区间长度的最大值 (即 = max{ xi})趋近于 0 时， 上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值， 2.变速直线运动的路程 设一物体作直线运动， 已知速度 v = v(t) 是时间 t 的连续函数， 求在时间间隔[T1,T2]上物体所经过的路程 s . (1) 分割 在时间间隔 [T1,T2]内任意插入 n - 1 个分点： T1 = t0 < t1 < t2 < · · · < ti-1 < ti < · · · < tn-1 < tn = T2 ， 把[T1,T2]分成 n 个小区间： [t0, t1]，[t1, t2]，· · · ，[ti-1, ti ]， · · · ，[tn-1, tn]. 这些小区间的长度分别为： ti = ti – ti – 1 (i = 1, 2, · · · , n) . 相应的路程 s 被分为 n 段小路程： si (i = 1, 2, · · · , n) . (2) 近似代替 在每个小区间上任意取一点 xi (ti-1 ≤ xi ≤ ti), 用 xi 点的速度 v (xi) 近似代替物体在小区间上的速度， 用乘积 v (xi) ti 近似代替物体在小区间 [ti-1 , ti ] 上所经过的路程 si ， 即 si v(xi) ti (i =1, 2, · · · , n) . (3) 求和 (4) 取极限 二、定积分的定义 定义 设函数 f (x) 在区间 [a, b] 上有定义． 任意取分点 a = x0 < x1 < x2 < · · · < xi-1 < xi < · · · < xn-1 < xn = b 把区间[a, b]分成 n个小区间 [xi-1, xi]， 称为子区间，其长度记为 xi xi – xi - 1 (i = 1, 2, · · · , n) 在每个子区间 [xi-1, xi]上, 任取一点 xi (xi-1 ≤ xi ≤ xi )， 得相应的函数值 f (xi )， 作乘积 f (xi ) xi (i = 1, 2, · · · , n)， 把所有乘积加起来，得和式 当 n 无限增大， ... ...
