(课件网) 第一章 函数 极限 连续 第四节 无穷小量的比较 定义1 设 ( x ) 和 b ( x ) 为( x → x0 或 x → ) 两个无穷小量. 若它们的比有非零极限， 若 c = 1，则称 ( x ) 和 b (x ) 为等价无穷小量， 则称 (x ) 和 b (x ) 为同阶无穷小. 并记为 ( x ) ~ b ( x )，( x → x0 或 x → ) . 即 例如，在 x → 0 时 sin x 和 5 x 都是无穷小量， 且 所以当 x → 0 时，sin x 和 5 x 是同阶无穷小量. 又如，因为在 x → 0 时， x ，sin x，tan x， 1 - cos x，ln(1 + x) 等都是无穷小量. 所以，当 x → 0 时， x 与 sin x， x 与 tan x， 都是等价无穷小量， x ~ sin x， x ~ tan x， ln(1 + x) ~ x. 即 x 与 ln(1 + x ) 并且 定义2 设 ( x ) 和 b (x ) 为 x → x0 (或 x → ) 时的无穷小量， 则称当 x → x0 (或 x → )时， ( x ) 是 b ( x ) 的高阶无穷小量， 例如， x2, sin x 都是 x → 0 时的无穷小量, 且 所以，当 x →0 时， x2 是 sin x 的高阶无穷小量，即 x2 = o(sin x). 或称 b ( x ) 是 ( x ) 的低阶无穷小量，记为 ( x ) = o (b ( x )) . 若它们的比的极限为零，即 注意 不是所有无穷小量都可以比较的. 比如，当 x →0 时， 不存在. 所以这两个无穷小量是不可比较的，即它们之间不存在同阶或高阶的关系. 定理 1 设 ( x ) ~ 1( x )，b ( x ) ~ b1( x )， 且 存在(或无穷大量)， 则 也存在或(无穷大量)， 并且 证 由定理条件可知 因此有 即可仿上面的证法 . 例 1 解 因为 x →0 时， ln (1 + x) ~ x， ex - 1 ~ x， 所以 例 2 解 因为 x →0 时， tan 5x ~ 5x， 所以 注意 作等价无穷小替换时，在分子或分母为和式时，通常不能将和式中的某一项或若干项以其等价无穷小替换，而应将分子或分母整个地加以替换； 若分子或分母为几个因子之积，则可将其中的某个或某些因子以其等价无穷小替换； 简言之，乘积因子方可作等价无穷小量替换。 例 3 解 因为 x →0 时， 所以 例 4 解 若直接用 x 代替 tanx 及 sinx， 因为，虽然 tanx x，sinx x ，但 tanx - sinx 0 则不成立，因此，这里用 0 代替 tanx – sinx 是错误的. 是错误的. 则
