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课件网) 第一章 函数 极限 连续 第二节 极限的概念 一、数列的极限 二、函数的极限 三、无穷大量 定义1 设函数 un = f (n), 其中 n 为正整数, 一、数列的极限 那么按自变量 n 增大的顺序排列的一串数 f (1), f (2), f (3), , f (n), , 称为数列, 记作 { un } 或数列 un . … … 若存在一个常数 M > 0 ，使得 | un | ≤ M (n = 1, 2, · · ·)恒成立， 或存在两个数 M 和 m，使得 m ≤ un ≤ M (M 称为上界, m 称为下界)， 若数列 un 满足 un ≤ un+1 (n = 1, 2, · · ·)或 un ≥ un+1 (n = 1, 2, · · ·)则分别称 {un} 为单调递增数列或单调递减数列， 则称数列 un 为有界数列，或称数列有界； 这两种数列统称为单调数列. 例如 {un} : 为单调递减数列; 为单调递增数列； 是有界数列， 但不是单调数列 . 又如 而 前面三个数列都有一种共同的现象，即当 n 无限变大时，它们都无限地接近于 1，这就是极限现象. 显然，数列 un 无限地接近于 1，可用数列 un与 1 之差的绝对值可以任意地小来描述 . 如果用符号 e 表示任意小的正数， 那么就可用 | un - 1 | < e 表示 . 于是, 数列 un 的极限现象可表述为：当 n 无限变大时，就有 | un - 1 | < e . 一般地，当 n 无限变大时，数列 un 无限接近于一个常数 A 的极限现象可定义如下： 定义2 如果当 n 无限变大时，数列 un 与 A 之差的绝对值小于任意小正数 e ，即 | un A| < e ， 此时亦称数列收敛，记作 那么称当 n 趋向无穷大时，数列 un以 A 为极限， (或数列 un 趋向于 A ). 前面三个数列的极限可分别表示为 几点说明: (1)在数列 un 趋向于 A 的过程中，它的变化较复杂. 还可举出其他变化的例子. 这种变化的多样性如不注意，易在概念上发生 错误. (2)对于 “n 无限变大这句话”, 也可用一个式子来表示， 如果记 N 为一个充分大的正整数，那么当 n > N 就表示了这个意思， N 表示了n 无限变大的程度， 恒有 | un－ A | < e . (3)数列极限的几何解释 存在一充分大正整数 N，当 n > N 时，点 un 都落在点 A 的 e 邻域内，而不管 e 有多么小(如图)， 形象一点讲，数列 un 会密集在点 A 的周围. A A - e A +e uN+1 uN+2 O x 如果把数列 un 中每一项都用数轴 Ox 上一个点来表示，那么数列 un 趋向于 A 可解释为: 定理1 若数列收敛，则数列有界 . 并非所有数列都是有极限的， 例如 当 n →∞ 时, 它们均不与一个常数 A 无限接近，所以这些数列没有极限 , 没有极限的数列称为发散数列或称数列发散 . 证明略. 二、函数的极限 当 x 无限接近于 1 时， 显然，当 x 1 时, 趋向于什么？ 函数 一般地，当 x 无限接近于 x0 时，函数 f (x) 趋向于 A 的定义如下： 定义3 如果当 x 无限接近于 x0 时，恒有| f (x) - A| < e (e 是任意小的正数)， 则称当自变量 x 趋向于 x0 时，函数 f (x) 趋向于 A ，记作 几点说明： (1)与数列极限相似， f (x) 趋向于 A 的过程中，可以有大于 A 的，可以有小于 A 的，也可以有等于 A 的 . (2) x 是不能等于 1 的，因为 x = 1 处函数没有定义 . 一般地，在自变量 x→x0 过程中是不能等于 x0 的. (3)自变量 x → x0 也可以用不等式表示. 如果用 d 记作充分小的正数. 那么 x 无限接近 x0 ，可由 x0 的 d 空心邻域表示，即 0 < | x - x 0| < d . d 表示 x 与 x0 接近的程度. 这样 ， 就是指，当 0 < | x - x 0| < d 时恒有 | f (x) - A | < e ... ...
