(
课件网) 第一章 函数 极限 连续 第五节 函数的连续性 一、连续函数的概念 二、连续函数的基本性质 三、闭区间上连续函数的性质 四、函数间断点及其分类 一、连续函数的概念 定义 1 设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内有定义， 则称函数 y = f ( x ) 在 x0 处连续，或称 x0 为函数 y = f (x) 的连续点 . 且 记 x = x - x0，且称之为自变量 x 的改变量或增量， 记 y = f (x) - f (x0) 或 y = f (x0+ x) - f (x０) 称为函数 y = f (x) 在 x0 处的增量. 那么函数 y = f (x) 在 x0 处连续也可以叙述为： 定义 2 设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内有定义， 如果 则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续. 若函数 y = f (x) 在点 x0 处有： 则分别称函数 y = f (x) 在 x0 处是左连续或右连续. 由此可知，函数 y = f (x) 在 x0 处连续的充要条件可表示为： 即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、右连续． 若函数 y = f (x) 在开区间 I 内的各点处均连续， 若函数 y = f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续，则理解为除在 (a, b) 内连续外， 在左端点 a 为右连续，在右端点 b 为左连续. 定义 1 表明，函数在某点连续含有三层意思： (1)它在该点的一个邻域内有定义; (2)极限存在; (3) 极限值等于该点处的函数值. 则称该函数在开区间 I 内连续. 函数 y = f (x) 在x0处连续的几何意义是： 函数 y = f (x) 的图形在点( x0,f (x0) )处不断开； 函数y = f (x) 在 (a, b) 连续的几何意义是： 函数 y = f (x) 的图形在 ( a, b) 内连绵不断. a b x0 O y x 证明函数 y = f (x) 在x0处连续, 通常是证明 若x0是分段函数 y = f (x) 的分段点，一般应该通过考察它在x0左、右连续性加以确定. 例如， 因此，函数f (x) = c, g (x) = x 在 内连续. 例 1 证明函数 y = sin x 在其定义域内连续 . 证 任取 x0 (- , + )，则因 y = f (x0 + x) - f (x0) = sin(x0 + x) - sinx0 这表明 y = sin x 在 x0 处连续， 由于 x0 的任意性可知它在定义域内连续 . ≤ ≤ ≤ 例 2 解 因为 所以 f (x) 在 x = 0 处连续. 例 3 证 因为 且 f (0) = 1，即 f (x) 在 x = 0 处左，右连续，所以它在 x = 0 处连续 . ≤ 二、连续函数的基本性质 定理 1 若函数 f (x) 和 g (x) 均在 x0 处连续， 则 f (x) + g (x) ， f (x) - g (x)， f (x) · g (x) 在该点亦均连续， 又若 g(x0) 0， 则 在 x0 处也连续. 故由极限的运算法则可得 因此 f (x) · g (x) 在 x0 处连续 . 证 我们仅证明 f (x) · g (x) 的情形 . 因为 f (x) ，g (x) 在 x0 处连续， 所以有 定理 3 若函数 y = f (x) 在某区间上单值、单调且连续， 即它们同为递增或同为递减. 则它的反函数 x = f -1 ( y ) 在对应的区间上也单值、单调且连续，且它们的单调性相同， 定理 2 设函数 y = f (u) 在 u0 处连续，函数 u = (x) 在 x0 处连续，且 u0 = (x0) ，则复合函数 f [ (x)] 在 x0 处连续 . 综上所述，基本初等函数在其定义域内连续. 可以由三角函数的连续性推知各个反三角函数在各自的定义域内连续； 借助于定理3， 例 4 解 因为 arcsin(logax) 是初等函数，且 x = a 为它的定义区间内的一点， 所以有 定理 4 初等函数在其定义区间内是连续的. 进一步可以得到初等函数连续性的重要定理. 例 5 应当先将该函数的分子有理化， 消去为零的因子 x， 再计算极限， 即 一般地， 解 这是一个 型的极限问题. 例 6 解 三、闭区间上连续函数的性质 定理 5 若函数 y = f (x) 在闭区间[a, b]上连续, (2) 在 [a, b] 上至少存在一点 x2， (1) 在 [a, b] 上至少存在 ... ...
