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课件网) 第一章 函数 极限 连续 第三节 极限运算 一、无穷小量及其运算 二、极限的运算法则 三、两个重要极限 一、无穷小量及其运算 若函数 a = a (x) 在 x 的某种趋向下以零为极限， 则称函数 a = a (x) 为 x 的这种趋向下的无穷小量，简称为无穷小量. 例如，函数 a (x) = x - x0， 当 x→x 0 时，a (x)→0， 所以 a (x) = x - x 0 是当 x → x0 时的无穷小量 . 它是当 x →∞ 时的无穷小量. 是当 x → + ∞ 时的无穷小量. 注意： 0是无穷小量，但无穷小量不是0. 定理 1 若函数 y = f( x ) 在 x → x0 (或 x →∞)时的极限为 A，则 f ( x ) = A a ( x )(简记 y = A a )， 定理 2 有限个无穷小(当 x → x0 或 x → ∞时)的代数和仍然是无穷小量 . 反之若 则 A 为 f(x) 的极限， 证明略 . 定理 3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 证 设函数 f (x) 有界， | f (x) | ≤ M . 又 a (x) 是无穷小量，即 | a (x) | < e (e 为任意小的正数)，则 | a (x) f (x) | = | a (x) | | f (x) | < e M . 由于 e 是任意的小正数，因而 e M 也是可以任意小的正数, 故 a (x) f (x) →0 . 即存在一个正常数 M, 使 推论 1 有限个无穷小量 推论 2 常数与无穷小量之积为无穷小量 . 定理 4 反之， 若 则 设 若 则 (自变量同一趋向下)之积为无穷小量 . 证明略 . 例 1 为有界函数， 证 二、极限的运算法则 定理 5 若函数 y = f (x) 与 y = g( x ) 在 x →x0 (或 x → ∞ )时都存在极限， 则它们的和、差、积、商(当分母的极限不为零时)在 x →x0 (或 x →∞)时也存在极限，且 (1) 由定理 1 有 f ( x ) = A a ( x ) 和 g ( x ) = B + b ( x )， 其中 a ( x ) 和 b ( x ) 均为无穷小量. 于是 f ( x ) g ( x ) = ( A B ) [a ( x ) b ( x ) ]， 其中 A B 为常数 , a ( x ) b ( x ) 仍为无穷小量， 故由无穷小量的定理 (1) 可推得 lim [ f ( x ) g ( x ) ] = A B = lim f ( x ) lim g ( x ) . 证 (2) 因为 f ( x ) g ( x ) = [A a ( x )][B b ( x )] = AB [Ab (x) Ba (x) a (x) b (x)]. 而由定理 3 的推论 1 和推论 2 可知 Ab (x), Ba(x)，a (x) b (x) 均为无穷小量，所以由定理 1 可知 商的极限运算法则的证明从略. lim [ f ( x ) g ( x )] = AB = lim f ( x ) lim g ( x ). 推论 1 常数可以提到极限号前， lim c f ( x ) = c lim f ( x ). 推论 2 若 lim f ( x ) = A，且 m 为正整数， lim [ f ( x ) ]m = [lim f ( x ) ]m = Am . 特殊地，有 则 即 解 运用定理 5 及其推论可得: 例 2 一般地，有 因此 即多项式函数在 x0 处的极限等于该函数在 x0 处的函数值. 解 由例 1 知道当 x 1 时所给函数的分子和分母的极限都存在， 且分母极限 例 3 所以 解 由于分母的极限 考虑 例 4 即 因此，由无穷小量与无穷大量的关系可知， 当 x 1 时 为无穷大量， 解 例 5 有时，所给函数在自变量的某个趋向下分子、分母的极限都为零， 这时不能直接应用商的极限运算法则. 例 6 若 an 0，bm 0，m、n 为正整数，试证 有一类函数，当自变量趋于无穷大时，其分子、分母都趋于无穷大. 这类极限称为 型的极限， 对于它们也不能直接应用商的运算法则. 证 当 x → 时，所给函数的分子分母都趋向于无穷大. 若将原式变形为 此例的结果可以作为公式使用，但要注意只适应于 的情形. 解 由于括号内两项的极限都是无穷大，因此人们常称为 “ - ” 型极限，不能直接应用定理 5 . 一般的处理方法是先通分再运用前面介绍过的求极限的方法. 例 7 解 例 8 解 例 9 三、两个重要极限 1.第一个 ... ...
