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课件网) 第一节 函 数 一、函数的概念 三、分段函数 四、反函数 五、初等函数 六、函数的基本性态 七、建立函数关系举例 二、函数的表示法 第一章 函数 极限 连续 八、备用知识 一、函数的概念 定义 设 D 为一个非空实数集合，若存在确定的对应规则 f ，使得对于数集 D 中的任意一个数 x , 按照 f 都有唯一确定的实数 y 与之对应，则称 f 是定义在集合 D 上的函数 . D : f 的定义域 x : 自变量 y : 因变量 如果对于自变量 x 的某个确定的值 x0，因变量 y 能够得到一个确定的值，那么就称函数 f 在 x0 处有定义，其因变量的值或函数 f 的函数值记为 实数集合 称为函数 f 的值域 . (其中 为大于 0 的常数)的一切 x，称为点 x0 的d 邻域，记作 U( x0 , d ). 满足不等式 对于不等式 0 < | x - x0 | < d 称为点 x0 的 d 的空心邻域，记作 U ( , d ) . 如图 (b) 所示. 它的几何意义是：以 x0 为中心，d 为半径的开区间 (x0 - d , x0 + d) ，即 x0 - d < x < x0 + d ，如图 (a)所示 . (a) O x0 -d x0 + d x0 x (b) O x x0 - d x0 +d x0 确定函数 显然，其定义域是满足不等式 的 x 值的集合, 解此不等式 , 则得其定义域为: 也可以用集合形式表示为 解 例 1 的定义域 . 解 该函数的定义域应为满足不等式组 解此不等式组，得其定义域 也可以用集合形式表示为 的 x 值的全体， 确定函数 例 2 ≥ ≤ 解 例 3 设函数 f (x) = x3 - 2x + 3，求 二、函数的表示法 函数的表示法通常有三种：公式法、表格法和图示法. 1. 以数学式子表示函数的方法叫做函数的公式表示法，公式法的优点是便于理论推导和计算. 2. 以表格形式表示函数的方法叫做函数的表格表示法，它是将自变量的值与对应的函数值列为表格，表格法的优点是所求的函数值容易查得. 3. 以图形表示函数的方法叫做函数的图示法，图示法的优点是直观形象，且可看到函数的变化趋势. 三、分段函数 例 4 旅客乘坐火车可免费携带不超 20 kg 的物品，超过 20 kg 而不超过 50 kg 的部分每 kg 交费 a 元，超过 50 kg 部分每 kg 交费 b 元 . 求运费与携带物品重量的函数关系 . 有些函数虽然也是以数学式子表示，但是它们在定义域的不同范围具有不同的表达式.这样的函数叫做分段函数. 情况二：重量大于 20 kg，但不超过 50 kg，这时 情况三：重量超过 50 kg，这时 情况一：重量不超过 20 kg，这时 解 设物品重量为 x kg，应交运费为 y 元. 由题意可知这时应考虑三种情况： 因此，所求的函数是一个分段函数 例 5 设 解 注意 y x O 图1-3 例 6 函数 ≤ ≤ 例 7 语句“变量 y 是不超过 x 的最大整数部分”表示了一个分段函数，常称为“取整函数”， -3 -2 -1 1 2 3 y x O 图1-4 四、反函数 设 y = f (x)为定义在 D 上的函数，其值域为 A . 若对于数集 A 中的每个数 y , 数集 D 中都有唯一的一个数 x 使 f (x) = y， 这就是说变量 x 是变量 y 的函数 . 这个函数称为函数 y = f (x) 的反函数, 其定义域为 A . 值域为 D . 函数 y = f (x) 与 x = f -1 (y) 二者的图形是相同的. 记为 x = f -1 (y). 交换 x、y 的位置, 即得所求的反函数 解 例 8 注意 例如 1.基本初等函数 三角函数 反三角函数 y = arc sinx, y = arc cos x, y = arc tan x, y = arc cot x ； 五、初等函数 等五类函数统称为基本初等函数 . y = sinx, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = sec x, y = csc x ； 幂函数 指数函数 对数函数 2.复合函数 若函数 y = F(u), 定义域为 U1 , 函数 u = j (x) 的值 域为 U2, 则 y 通过变量 u 成为 x 的函数, 这个函数称为由函数 y = F(u) 和函数 u = j (x) 构 ... ...
