中小学教育资源及组卷应用平台 2024沪科版数学八年级下学期 第19章 四边形 专项素养综合全练(七) 有关四边形的五大模型 模型一 中点四边形模型 1.如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使四边形EFGH为矩形,则四边形ABCD应具备的条件是( ) A.一组对边平行而另一组对边不平行 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分 2.(2022湖北荆州中考)如图,已知矩形ABCD的边长分别为a,b,进行如下操作:第1次,顺次连接矩形ABCD各边的中点,得到四边形A1B1C1D1;第2次,顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点,得到四边形A2B2C2D2;……,如此反复操作下去,则第n次操作后,得到四边形AnBnCnDn的面积是( ) A. B. C. D. 第2题图 第3题图 模型二 十字架模型 3.【构造斜边中线】如图,E,F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H,连接DH.若正方形的边长为6,则线段DH长度的最小值是 . 4.(2023浙江绍兴中考)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足,连接EF,AG,并延长AG交EF于点H. (1)求证:∠DAG=∠EGH; (2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由. 模型三 对角互补模型 5.如图,已知正方形ABCD中,边长AB=6,点P为对角线BD上任一点,连接AP,过点P作PQ⊥AP交BC于点Q. (1)求证:AP=PQ; (2)若DP=,求四边形ABQP的面积. 模型四 含60°角的菱形 6.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=6,点E、F分别在边AB、AD上,且BE=AF,连接EF、CE、CF,则EF的最小值是( ) A.2 B.3 C.2 D.3 7.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,E、F分别是AB、AD的中点,DE、BF相交于点G,连接BD,CG. (1)求证:∠BGD=120°; (2)若DE=2,求DC的长; (3)若菱形ABCD的面积为32,求CG的长. 模型五 折叠型 8.将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠,使点A落在CD上的点A'处,得到折痕DE,如图1. (1)求证:四边形AEA'D是正方形. (2)将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠,点C恰好落在AD上的点C'处,点B落在点B'处,得到折痕EF,B'C'交AB于点M,如图2.线段MC'与ME是否相等 若相等,请给出证明;若不等,请说明理由. 图1 图2 第19章 四边形 专项素养综合全练(七) 答案全解全析 有关四边形的五大模型 1.C 要使四边形EFGH是矩形,应添加的条件是四边形ABCD的对角线互相垂直.理由如下: 如图,连接AC、BD,AC与BD交于点O,根据三角形的中位线定理得EF∥AC,EF=AC,GH∥AC,GH=AC,EH∥BD,∴EF∥GH,EF=GH, ∴四边形EFGH是平行四边形. ∵EF∥AC,EH∥BD,BD⊥AC, ∴EH⊥EF,∴∠HEF=90°,∴四边形EFGH是矩形. 添加其余选项的条件均无法证明四边形EFGH是矩形. 2.A 如图,连接A1C1,B1D1, ∵顺次连接矩形ABCD各边的中点,得到四边形A1B1C1D1,∴四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的一半,∴S1=ab. ∵顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点,得到四边形A2B2C2D2,∴C2D2=A1C1,A2D2=B1D1, ∴S2=A1C1×B1D1=ab,……,依此类推可得Sn=. 3.答案 3-3 解析 根据正方形的性质可得AB=AD=CD=6,∠BAD=∠CDA=90°,∠ADG=∠CDG=45°, 又∵AE=DF,∴△BAE≌△CDF,∴∠1=∠2, ∵DG=DG,∴△ADG≌△CDG,∴∠2=∠3, ∴∠1=∠3,又∵∠BAD=∠BAH+∠3=90°, ∴∠1+∠BAH=90°,∴∠AHB=90°. 如图,取AB的中点O,连接OH,OD, 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=3, 在Rt△AOD中,由勾股定理得OD==3, ∵OH+DH≥OD,∴当O,D,H三点共线时,DH的长度最小,最小值=OD-OH=3-3. 4.解析 (1)证明:∵在正方形ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD,∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH. (2)AH⊥EF.理由如下: 连接GC交EF于点O,如图, ∵BD为正方形ABCD的对角线, ∴∠ADG=∠CDG=45°. 又∵DG=DG,AD=CD, ∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠DAG=∠DCG. 在正方形ABCD中,∠ECF=90°, 又∵GE⊥CD,GF⊥BC, ∴四边 ... ...
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