专题04 指数、对数函数 1. 指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． 3．实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 4. 幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 函数 偶 函数 奇 函数 非奇非偶 函数 奇 函数 单调性 在R上单 调递增 在(－∞，0) 上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减 5.指数函数图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0
0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有00时，恒有01 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 6. 常用对数和自然对数 以10为底的对数叫作常用对数,并把记作lg_N.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,并且把记为ln_N. 7.对数的性质： ①loga1＝0； ②logaa＝1(其中a>0且a≠1)． 8.对数恒等式： alogaN＝N．(其中a>0且a≠1，N>0) 9.对数的换底公式： logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)． 10.对数的运算法则： 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 11.对数函数的图象和性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：(－∞，＋∞) 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 1.指数幂的运算 2.对数的运算 3.解指对数方程 4.比较幂式大小 5.解简单的不等式． 7. 求复合函数的单调区间 1. 转化思想 2.函数与方程思想 3. 数形结合思想 考点一 指数幂的运算 例1．计算： ． 【答案】 【分析】利用分数指数幂和对数的运算直接求解即可. 【详解】原式． 故答案为：9 例2． . 【答案】/ 【分析】由指数幂的运算化简求值. 【详解】. 故答案为： 【变式探究】1. 【答案】 【分析】根据分数指数幂的运算法则计算出答案. 【详解】 . 故答案为： 2. . 【答案】/ 【分析】根据指数幂以及根式的运算即可求解. 【详解】原式为 . 故答案为： 考点二 对数的运算 例3．计算： ． 【答案】 【分析】根据指对数直接计算即可. 【详解】原式. 故答案为：1. 例4．化简： . 【答案】4 【分析】利用对数运算及换底公式计算即得. 【详解】. 故答案为：4 【变式探究】1. ． 【答案】10 【分析】由对数的运算性质求解即可. 【详解】． 故答案为：10． 2. 计算 . 【答案】 【分析】利用分数指数幂和对数运算法则计算即可. 【详解】 . 故答案为： 考点三 与指对函数有关的定义域 例5．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由解析式可得，求解即可. 【详解】由题意可得,故，即. 故函数的定义域为. 故答案为:. 例6．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用对数、分式、根式的性质列不等式，求的范围，即得定义域. 【详解】由 ... ... 