例谈导数在解函数问题中的应用 近几年随着导数进入高中教材，为研究函数的性质提供了新的工具，从而使函数问题的解决带有一定的程序性，利用导数解决函数问题已成为高考命题的一个新的热点。本文拟从几个方面举例说明导数的应用 求函数的解析式 例1、设函数y=f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P，且曲线在P点的切线方程为24x+y－12=0,若函数在x=2处取得极值－16，试求函数解析式。 解 由y′=3ax2+2bx+c 得f′(0)=c,∵切线24x+y－12=0的斜率k=－24,∴c= －24 将x=0代入24x+y－12=0得y=12,得P点坐标为（0，12）。将P（0，12）代入y=f(x)得d=12,所以f(x)= ax3+bx2－24x+12，又由函数f(x)在x=2处取得极值－16，则得∴f(x)=x3+3x2－24x+12 二、求函数的极值、最值及值域 例2、已知函数f(x)= (x-1)3 (x+2)2,则f(x)满足（ ） A、x=1、－2、处取得极值 B、既有极大值，也有极小值 C、只有极大值，没有极小值 D、没有极大值，只有极小值 解 f′(x)=3(x－1)2(x+2)2+2(x－1)3(x+2)=(x+2)(x－1)2(5x+4). 令f′(x)=0，得x1=－2,x2=,x3=1.这三点将数轴分成四个区间： （－∞, －2）,( －2, ),(,1),(1,+∞).易知f′(x)在这四个区间的符号 分别为+、－、+、+。 因此，f(x)在x=－2处取得极大值，在x=处取得极小值， 而在x=1处没有极值。所以选B 例3、函数y=x4－x3在[－2，3]上的最大值为 解 由y′=4x3－3x2=x2(4x－3)=0得x=0或x=.当x=－2时，y=32; 当x=0时，y=0;当x=时，y=; 当x=3时，y=27.所以y的最大值为32 三、判断函数的单调性 例4、证明：函数f(x)=ex+e-x在（0，+∞）上是增函数 证明：f′(x)= ex－e-x=e-x（e2x－1），当x>0时，有e-x >0,e2x－1>0 此时f′(x)>0,所以f(x)在（0，+∞）上是增函数 例5、求实数a,使得函数f(x)=在（0，+∞）上具有单调性 解 f′(x)= 为使函数在（0，+∞）上具有单调性， 必须f′(x)>0或f′(x)<0，即有在区间（0，+∞）上恒成立 ∵x∈（0，+∞）时∈(0,1), 故当a≤0时>a恒成立，此时f′(x)>0，函数在（0，+∞）上是增函数。 当a≥1时，
0),则f′(x)= >0,∴f(x)在（0，+∞）上是增函数。 原不等式为∴ 故当m>0时，其解集为（m,2m）;当m<0时，其解集为（2m,m）. 例7、已知i、m、n是正整数且1(1+n)m 证明：∵1mln(1+n) ∴(1+m)n>(1+n)m 例8、已知函数f(x)=x3+ax+b满足f(0)= f(1)，P(x1,y1),Q(x2,y2)是其图象上任意两个点， 若 解 由f(0)= f(1)得a=－1，从而f(x)=x3－x+b.令f′(x)=3x2－1≥0,有, 即f(x)在上为减函数。 所以当x∈[－1,1]时fmax(x)=max, fmin(x)=min. 而所以恒有 五、求参数的取值范围 例9、已知两个函数f(x)=7x2－28x－c,g(x)=2x3+4x2－40x ⑴若对任意x∈[－3,3]都有f(x)≤g(x)成立，求实数c的范围 ⑵若对任意x1∈[－3,3], x2∈ [－3,3]都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数c的范围 解 ⑴根据题意可以转化为对于任意x∈[－3,3]都有g(x) －f(x) ≥0恒成立， 令F(x)= g(x) －f(x)=2x3－3x2－12x+c,只要对于x∈[－3,3]有Fmin(x) ≥0成立。 F′(x)=6x2－6x－12,让F′(x)=0，得x1=－1,x2=2.这两点将数轴分成三个区间： （-∞, －1）,( －1,2), (2,+∞).易知F′(x)在这三个区间的符号分别为+、－、+。 因此，F(x)在x=2处取得极小值－28+c，在x=－3处的值为－45+c, 而在x=3处的值为－9+c。所以Fmin(x)= －45+c。 因此，要满足题目条件，只需－45+c≥0，可得c≥45 ∴实数c的取值范围为 ⑵根据题意可以转化为对于任意x∈[-3, ... ... 
