【第三课】5.1.1任意角 5.1.2 弧度制 扩展1: 与角度、弧度有关的数学文化题 例1. [广东七校联合体2022联考] 1．如图是古希腊数学家希波克拉底用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O，C为弧AB的中点，D为线段AC的中点，再以AC为直径构造半圆D，则由曲线AEC和曲线AFC所围成的图形为月牙形．若，则该月牙形图形的面积为（ ） A．4 B． C． D．2 【举一反三1-1】 （2023上·四川宜宾·高一统考阶段练习） 2．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，设扇形的面积为，其圆心角为，此扇形所在圆面中剩余部分面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.某扇环玉雕为“美观扇面”的一部分，其所在扇面半径，尺寸（单位：）如图所示，则该玉雕的扇环面积为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1-2】 （2023上·云南·高一云南师大附中校考阶段练习） 3．《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男了在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【举一反三1-3】 [山东临沂2023高一月考] 4．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为 ． 扩展2:与角度、弧度有关的最值问题 例2. （2023上·湖北·高一湖北省仙桃中学校联考阶段练习） 5．若一个扇形的面积为，则当半径为 时扇形的周长最小. 【举一反三2-1】 （2023上·河南·高一镇平县第一高级中学校联考阶段练习） 6．若扇形周长为10，当其面积最大时，其扇形内切圆的半径r为 . 【举一反三2-2】 （2015·山东·统考高考真题） 7．终边在轴的正半轴上的角的集合是（ ） A． B． C． D． （2022·全国·统考高考真题） 8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ） A． B． C． D． （2020·浙江·统考高考真题） 9．已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．D 【分析】连接，得出，再由扇形的面积公式求解即可. 【详解】记月牙形图形的面积为，曲线AFC与弦AC围成的弓形面积为，连接OC 因为 所以． 故选：D． 2．A 【分析】由扇形的面积比可得扇形的圆心角，再由扇形面积公式即可得解. 【详解】由题意可知，，解得， 所以该玉雕的扇环面积为. 故选：A． 3．A 【分析】根据弧长公式求解即可. 【详解】由题意可知，“弓”所在圆的弧长为， 由弧度数公式得， 则掷铁饼者双手之间的距离约为. 故选：. 4． 【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为的关系，可求得，进而可得该扇形的中心角的弧度数. 【详解】解：如图， 依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为 则，则，即． 因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数． 故答案为：. 5．2 【分析】根据扇形的面积公式列出周长表达式，利用基本不等式求解. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 由扇形的面积为，则，得， 扇形的周长为， 当且仅当即时，等号成立. 所以当时，扇形的周长最小. 故答案为：. 6． 【分析】设扇形半径为，则弧长为，根据面积公式结合二次函数性质确定，，根据解得答案. 【详解】设扇形半径为，则弧长为， 面积，当时，面积最大. 此时圆心 ... ...
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