12.2 平方根和开平方 （第1课时） 2023-2024学年沪教版七年级下册数学课件 学习目标 1．理解平方根产生的背景和平方根的概念及其符号表示； 2．知道正平方根与平方根的区别，理解正数的两平方根之间的关系及实数范围内负数没有平方根； 3．会根据开平方根与平方的逆运算关系求完全平方数的平方根. 我们在上一节认识了像 、 、 这样的无理数,它们的表示形式中都有“ ”,现在来学习与这类数有关的概念和运算. 问题1 学校要举行美术作品比赛，小优裁出了一块面积为 25 dm2 的正方形的画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 分析： ∵( )2 = 25 ∴这个正方形画布的边长应取 dm. 5 5 问题2 如果一个数的平方为 25，那么这个数是多少？ 分析： ∵ ( ±5 )2 = 25 ∴这个数是 5 或 -5. 想一想：5 和-5 有什么特征 5 和 -5 互为相反数，会不会是巧合呢？ 平方根的定义及性质 平方根的概念 如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，或二次方根. 这就是说，如果 x2 = a， x 叫做 a 的平方根. 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方. a 叫做被开方数. 例如：(±3)2 = 9， 3 和 -3 是 9 的平方根，简记为±3 是 9 的平方根. 你能再举几个例子吗？ 注意：被开方数a≥0. 例如 82=64，所以8是64的平方根； (-8)2=64，所以-8是64的平方根； 所以64的平方根是±8. – 1 + 1 + 2 – 2 + 3 – 3 1 4 9 – 1 + 1 + 2 – 2 + 3 – 3 1 4 9 平方 开平方 比较两图中的两种运算的特点，你能发现什么？ 互为逆运算 开平方运算与平方运算互为逆运算. 根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根 总结 互为逆运算 平方运算 开平方运算 1.正数的平方根有什么特点？ 2. 0 的平方根是多少？ 3.负数有平方根吗？ 平方根的性质 正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根. 因为 02 = 0，所以 0 的平方根是0 在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根. 正数有两个平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是 0； 负数没有平方根. 总结 例题1 分别求下列各数的平方根： 解：由于 ( ±2 )2 = 4， 因此 4 的平方根是 2 与 -2. 36是正数 (1) 4； 有两个平方根 教材第7页 解：由于 ( ±0.4)2 = 0.16， (3) 0.16. 因此 0.16 的平方根是 0.4与 -0.4. (2) ； 解：由于 ， . 1. 144 的平方根是什么？ 2. 0 的平方根是什么？ 3. 的平方根是什么？ 4. -4 有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负数. 正数的平方根有几个？零有平方根吗？负数有平方根吗？ （1）正数a的两个平方根互为相反数，可以用 表示 其中 表示a的正平方根（又叫做算术平方根）， 读作“根号a”， 表示a的负平方根，读作“负根号a”； （2）0的平方根就是0，记作 （3）负数没有平方根. 思考1： 例题2 一个正数的两个平方根分别是 2a＋1 和 a－4， 求这个数． 解：由于一个正数的两个平方根是 2a＋1 和 a－4， 则有 2a＋1＋a－4＝0，即 3a－3＝0， 解得 a＝1. 所以这个数为 (2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. 方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 表示 a 的正的平方根 表示 a 的负的平方根 记作 一个非负数的平方根的表示方法： (算术平方根) 开平方根的数学符号表示 只有当 a ≥ 0 时才有意义. a ＜ 0 时无意义. a﹙a≥0﹚的平方根表示为 各表示什么意义？ 表示 7 的正的平方根（即算术平方根） 表示 7 的负的平方根 表示 7 的平方根 例题3 求下列各式的值： 解：(1) . (2) . (3) . 计算下列各题: 3 3 3 3 思考2： 从上题中，你能否发现并总结某些规律？为什么会有这样的规律？ 因为开平方与平方互为逆运算，根据平方根的意义， 我们可以得到 （1）当a>0时， （2）当a≥0时, 当 ... ...
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