2023-2024年度高三模拟测试 数 学 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由结合，即可得. 【详解】， 故对，都有，使成立， 又当时，有，此时，不存在使， 故，即. 故选：C. 2. 命题“”是“，且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式和充分条件必要条件的定义即可判断. 【详解】若， ，即， ，即， 则充分性成立； 若且， 当时，， 当时，， 则必要性成立； 综上所述：“”是“，且”的充分必要条件. 故选：C. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数四则运算和乘方运算以及共轭复数的定义即可. 【详解】，， ， 故选：A. 4. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正切函数的二倍角公式可得，结合函数定义域及正切型函数的周期性计算即可得. 【详解】，， 又，可得， 即，且、，故. 故选：C. 5. 已知抛物线的焦点为， 其上有两点， 若的中点为， 满足的斜率等于1，则的最大值是（ ） A. 7 B. 8 C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】设直线的方程为，， 利用韦达定理得出中点的坐标，再根据条件得出，再利用求根公式得出，再分或两种情况，通过构造函数，利用函数单调性即可解决问题. 【详解】由题知，直线斜率存在，设直线方程为，， 由，消得到， 由，得到①， 由韦达定理知，，所以， 又由题知，得到②，由①②得到，即或. 由抛物线定义知，， 又由，得到， 取，将代入并化简得到， 当，则，且， 令，则， 由，得到，解得或（舍）， 当时，， 当时，， 由时，，，所以时，，即有时，， 当时，，， 所以，得到， 所以当时，有最大值为3， 所以的最大值为，得到， 当，则，且， 令，则， 因，所以，得到， 所以，在上恒成立，此时， 则，故， 综上，， 故选：D. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于找出的范围后，用表示出，即，再根据的范围，构造相应的函数，借助函数的单调性来解决问题. 6. 已知R，函数的最大值为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由题得，再得到，，，再将以上三式两边相加可得，即. 【详解】设， 则， 由于， ，， 则，，， 所以将以上三式两边相加可得， 即，所以. 故选：B 【点睛】(1)本题主要考查函数最值的求法，考查绝对值三角不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是得到，，，其二是利用三角不等式求得，即. 7. 半径为R的光滑半球形碗中放置着4个半径为r的质量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今将另一个完全相同的小球至于其上方，若小球不滑动，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出草图，求出球心坐标，分析受力情况，从而得出，由此即可得解. 【详解】以碗的大圆圆心，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示： 上面球的球心、下面4个球之一的一个球心分别为， 以球为对象分析它的受力情况：球给它的压力为， 它自身受到的重力为， 由对称性可知碗给它的支持力为， 所以，解得， 所以的最大值是. 故选：D. 【点睛】关键点睛：关键是准确分析受力情况，列出不等式，由此即可顺利得解. 8. 已知a，b，c满足，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用其单调性，分，，讨论即可. 【详解】由题意得，即，则，则， 令，根据减函数加减函数为减函数的结论知： 在上单调递减， 当时，可得，，两边同取 ... ...
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