13.2 课时3 三角形内角和定理的推论———直角三角形的性质 【练基础】 必备知识1 三角形内角和定理的证明 1.下面①②③④是用拼图法验证“三角形内角和为180°”的四种思路,能成为证明这个定理思路的有 ( ) A.①②③④ B.①③ C.③④ D.①② 2.如图,当证明“△ABC内角和等于180°”时,延长BC至点D,过点C作CE∥AB,得到∠ABC=∠ECD,∠BAC=∠ACE,由于∠BCD=180°,可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,这个证明方法体现的数学思想是 ( ) A.数形结合 B.特殊到一般 C.一般到特殊 D.转化 必备知识2 三角形内角和定理的运用 3.如图,直线AB∥CD,且AC⊥CB于点C,若∠BAC=35°,则∠BCD的度数为 ( ) A.65° B.55° C.45° D.35° 4.如图,在△ABC中,∠A=80°,高BE和CH的交点为O,则∠BOC等于 ( ) A.80° B.120° C.100° D.150° 5.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,若∠ABC=64°,∠AEB=70°.则∠CAD的度数是 °. 6.【马鞍山期末】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AE⊥BC,若∠BAD=40°,∠C=70°,求∠DAE的度数. 必备知识3 直角三角形的两锐角互余 7.如图,AD是Rt△ABC的斜边BC上的高,则图中与∠B互余的角有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图,把三角板的直角顶点放在直尺的一边上.若∠1=30°,则∠2的度数为 . 必备知识4 有两个角互余的三角形是直角三角形 9.三角形中有一个角是36°角的余角,另一个角是144°角的补角,那么这个三角形是 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 【练能力】 10.将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起,则图中∠α的度数是 ( ) A.25° B.20° C.15° D.10° 11.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“标准三角形”,其中α为“标准角”.如果一个“标准三角形”的“标准角”为100°,那么这个“标准三角形”的最小内角的度数为 ( ) A.30° B.45° C.50° D.60° 12.将一副三角尺按如图所示的方式放置,最小锐角的顶点D恰好在等腰直角三角尺的斜边AB上,BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°,那么∠BMD= °. 13.如图,已知∠AOD=30°,C是射线OD上的一个动点.在点C的运动过程中,△AOC恰好是直角三角形,则此时∠A所有可能的度数为 . 【练素养】 14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC的平分线与∠BAC的平分线相交于点P,连接CP,过点P作DE⊥CP分别交AC、BC于点D、E. (1)若∠BAC=40°,求∠APB与∠ADP的度数. (2)探究:通过(1)的计算,小明猜测∠APB=∠ADP,请你说明小明猜测的正确性(要求写出过程). 参考答案 基础演练 1.B 2.D 3.B 4.C 5.52 6.【解析】∵AD平分∠BAC, ∴∠BAC=2∠BAD=80°. ∵∠C=70°, ∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-70°-80°=30°, ∴∠ADE=∠B+∠BAD=30°+40°=70°. ∵AE⊥BC, ∴∠AEB=90°, ∴∠DAE=90°-∠ADE=90°-70°=20°. 7.B 8.60° 9.C 10.C 11.A 12.85 13.60°或90° 素养通关 14.【解析】(1)∵∠ABC的平分线与∠BAC的平分线相交于点P, ∴PC平分∠ACB, ∴∠PCD=∠PCE=∠ACB=×90°=45°. ∵PC⊥DE, ∴∠CPD=90°, ∴∠CDE=45°, ∴∠ADP=135°. ∵∠BAC=40°,∠ACB=90°, ∴∠ABC=90°-40°=50°. ∵∠PBA=∠ABC=25°,∠PAB=∠BAC=20°, ∴∠APB=180°-25°-20°=135°. (2)结论:∠APB=∠ADP. 理由:∵PB,PA分别是∠ABC,∠BAC的平分线, ∴∠PBA=∠ABC,∠PAB=∠BAC, ∴∠APB=180°-(∠ABC+∠BAC)=180°-(180°-90°)=135°. ∵PC平分∠ACB,∴∠PCD=∠ACB=45°. ∵∠ADP=∠CPD+∠PCD, ∴∠ADP=135°, ∴∠APB=∠ADP. 2 ... ...
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