3.3.1 抛物线的标准方程 【学习目标】 1.了解抛物线的定义及焦点、准线的概念.(数学抽象) 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.(直观想象、数学建模) 【自主预习】 预学忆思 1.观察教材第133页图3.3-1,将一直尺固定在画图板内直线l的位置上,取一个直角三角板,以它的一条直角边靠紧直尺的一边l.在另一条直角边上取定点A,设三角板的直角顶点为C,再取一条长度正好等于AC的细线.现将这条细线的一端固定在三角板的顶点A处,另一端用大头针固定在点F处,用一支铅笔扣着细线,紧靠着三角板的这条直角边把细线绷紧,然后使三角板紧靠着直尺上下滑动,这样铅笔尖所在的点P就描出了一条曲线. (1)点P的轨迹是什么形状 【答案】抛物线. (2)|PC|与|PF|之间有什么关系 【答案】相等. (3)抛物线上任意一点P到点F和直线l的距离都相等吗 【答案】都相等. 2.观察教材第134页图3.3-2,直线l的方程为x=-(p>0),定点F的坐标为,0,设P(x,y),根据抛物线的定义可知|PF|=|PC|,则点P的轨迹方程是什么 【答案】y2=2px(p>0). 3.抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么 【答案】p的几何意义是焦点到准线的距离. 4.抛物线方程有几种形式 【答案】抛物线方程有四种形式,即y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,其中p>0. 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数. ( ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p. ( ) (3)抛物线y=4x2的焦点坐标为(1,0). ( ) (4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2=4y. ( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.抛物线y2=-8x的焦点坐标是( ). A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0) 【答案】B 【解析】抛物线y2=-8x的焦点在x轴的负半轴上,且=2,因此焦点坐标是(-2,0). 3.若抛物线y2=16x上一点P的横坐标为4,则点P到抛物线焦点F的距离|PF|=( ). A.12 B.10 C.8 D.6 【答案】C 【解析】因为2p=16,所以=4,所以|PF|=4+=4+4=8. 4.已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上的点M(m,-2)到焦点的距离为4,则m= . 【答案】±4 【解析】由已知,可设抛物线方程为x2=-2py(p>0).由抛物线的定义得2+=4,∴p=4,∴x2=-8y.将点M(m,-2)的坐标代入x2=-8y,得m2=16,∴m=±4. 【合作探究】 探究1：抛物线的定义 情境设置 问题1:在抛物线的定义中,若去掉条件“l不经过点F”,点的轨迹还是抛物线吗 【答案】不一定是抛物线.当直线l经过点F时,点的轨迹是过点F且垂直于定直线的一条直线,l不经过定点F时,点的轨迹是抛物线. 问题2:到定点A(3,0)和定直线l:x=-3距离相等的点的轨迹是什么 【答案】根据抛物线的定义,可以判断该轨迹是抛物线. 新知生成 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线. 新知运用 例1 如图,在同一平面内,A,B为两个不同的定点,圆A和圆B的半径都为r,射线AB交圆A于点P,过点P作圆A的切线l,当rr≥|AB|变化时,l与圆B的公共点的轨迹是( ). A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 【答案】D 【解析】 设切线l与圆B的公共点为M,过点A作直线AB的垂线m,过点M作MN⊥m,垂足为N,连接MB,如图, 则|MB|=r,|MN|=|PA|=r,所以|MB|=|MN|,即动点M到定点B的距离等于动点M到定直线m的距离,且定点B不在定直线m上,根据抛物线的定义知,动点M的轨迹是以B为焦点,m为准线的抛物线.故选D. 巩固训练 若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为( ). A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【答案】D 【解析】依题意,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P的轨迹是抛物线. 探究2：抛物线的标准方程 情境设置 问题1:比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程,小明给出下列三种建立坐标系求抛物线方程 ... ...
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