5.2.1 课时1等差数列的定义及通项公式 【学习目标】 1.能够通过实际问题理解等差数列、公差的概念,提升分析问题、解决问题的能力.(数学抽象) 2.掌握等差数列的通项公式及其推导方法,并能够灵活地进行运算.(逻辑推理、数学运算) 3.掌握等差数列的判定方法,能运用定义法证明等差数列.(数学抽象、逻辑推理) 【自主预习】 1.等差数列是如何定义的 2.观察所给的两个数之间,插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列. (1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0. 3.由等差数列的通项公式可以看出,要求等差数列an的通项公式,需要哪几个条件 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)数列4,4,4,…是等差数列. ( ) (2)若一个数列的前4项分别为1,2,3,4,则{an}(n>4)一定是等差数列. ( ) (3)在等差数列{an}中,a1,n,d,an任意给出三个,可求剩下的一个. ( ) (4)等差数列{an}的通项公式是关于n的一次函数. ( ) 2.下列数列不是等差数列的为( ). A.6,6,6,6,6 B.-2,-1,0,1,2 C.5,8,11,14 D.0,1,3,6,10 3.已知在等差数列{an}中,首项a1=4,公差d=-2,则通项公式an= . 4.在等差数列{an}中,若a2=1,a5=3,则公差d= . 【合作探究】 探究1 等差数列的定义 奥林匹克运动会(Olympic Games,简称奥运会),是国际奥林匹克委员会主办的世界规模最大的综合性运动会,每四年一届,会期不超过16日,是世界上影响力最大的体育盛会.奥林匹克运动会发源于两千多年前的古希腊,因举办地在奥林匹亚而得名.小明为了更加了解奥运会,通过互联网查询到了第23届到第31届奥运会的年份依次为1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008,2012,2016. 问题:这个数列有什么规律 新知生成 一般地,若数列{an}从第 2 项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d,即 an+1-an=d 恒成立,则称{an}为等差数列,其中d称为等差数列的 公差 . 注意:等差数列定义的理解 (1)“每一项与它的前一项之差”这一运算的要求是指“相邻且后项减去前项”,强调了作差的顺序且这两项必须相邻. (2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数,否则这个数列不能称为等差数列. 新知运用 例1 判断下列数列是否为等差数列. (1)在数列{an}中,an=3n+2; (2)在数列{an}中,an=n2+n. 【方法总结】 定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法,其步骤如下: (1)作差an+1-an. (2)对差式进行变形. (3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列. 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,数列{bn}中,bn=3an+4.问:数列{bn}是否为等差数列 并说明理由. 探究2 等差数列的通项公式 一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位: cm)依次为16,32,48,64,80,96,112,128,…,320. 问题1:这个数列是等差数列吗 如果是,它的公差是多少 问题2:你能归纳出这个数列的通项公式吗 新知生成 若{an}是等差数列,则其通项公式an=a1+(n-1)d. ①{an}是等差数列 an=pn+q,其中p=d,q=a1-d,点(n,an)是直线y=dx+(a1-d)上一群孤立的点. ②单调性:当d>0时,{an}为递增数列;当d<0时,{an}为递减数列;当d=0时,{an}为常数列. 新知运用 例2 (1)解答《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积是 升. (2)已知在等差数列{an}中,a1+a6=12,a4=7,求an. 【方法总结】 1.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称为“知三求一”. 2.熟练掌握等差数列是关于n的一次函数这一结构特征,并且公 ... ...
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