5.2.1 课时2 等差数列的性质及其应用 学案(原卷版+解析版) 2023-2024学年高一数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.2.1 课时2　等差数列的性质及其应用 【学习目标】 1.理解等差中项的概念,并能够利用等差中项进行解题.(数学抽象) 2.熟悉等差数列的相关性质,并能够应用该知识灵活地进行运算.(逻辑推理、数学运算) 3.能够应用等差数列解决一些生活中的实际问题.(逻辑推理、数学建模、数学运算) 【自主预习】 1.取出等差数列的奇数项能不能构成一个新数列 这个数列是不是等差数列 【答案】　能构成新数列,是等差数列. 2.在有穷等差数列{an}中,与首末两项“等距离”的两项之和与首项与末项的和是否相等 【答案】　相等,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…. 3.在等差数列{an}中,如果m+n=2k(m,n,k∈N+),那么am+an=2ak是否成立 给出证明. 【答案】　成立.因为当m+n=2k时,am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d=2a1+(2k-2)d=2[a1+(k-1)d]=2ak. 4.若{an}为等差数列,且m+n=p(m,n,p∈N+),则am+an=ap一定成立吗 【答案】　不一定.如常数列{an},1+2=3,而a1+a2=2a3. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在等差数列{an}中,必有a10=a1+a9. (　　) (2)若{|an|}是等差数列,则{an}也是等差数列. (　　) (3)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列. (　　) (4)若{an}是等差数列,则对任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2. (　　) 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.在等差数列{an}中,若a3=5,a5=7,则a7=(　　). A.-1 B.9 C.1 D.6 【答案】　B 【解析】　由题意可知a3+a7=2a5,∴a7=2a5-a3=14-5=9,故选B. 3.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=(　　). A.12 B.16 C.20 D.24 【答案】　B 【解析】　在等差数列{an}中,由性质可得a2+a10=a4+a8=16. 【合作探究】 探究1　等差数列的性质 　　观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,…. 问题1:说出8是哪两项的等差中项.并找到它们满足的规律. 【答案】　8是6和10的等差中项,也是4和12的等差中项,还是2和14的等差中项.对于任一等差数列{an},有a4===,即a3+a5=a2+a6=a1+a7=2a4 . 问题2:观察项的角标满足什么关系 由此你能得到什么固定的结论吗 【答案】　3+5=2+6=1+7=4+4.若p+q=s+t,则ap+aq=as+at . 问题3:如图,这是上述性质的一种情形,你能从几何的角度进行解释吗 【答案】　当d≠0时,等差数列是一次函数f(x)=dx+(a1-d)在x∈N+的函数值,其图象是均匀分布在某一条直线上的点,所以图中的ap,aq 和as,at 可以分别看作直角梯形的两条底边的长,ap+aq 和as+at 可以看作这两个梯形的中位线的二倍,由于p+q=s+t,所以这两个梯形有相同的中位线,所以ap+aq=as+at . 新知生成 等差数列一些常见的性质 (1)通项公式的推广公式:an=am+(n-m)d(n,m∈N+) d=(n≠m). (2)若数列{an}为等差数列,且m+n=p+q=2w,则am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w∈N+). (3)若数列{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差为md的等差数列. (4)若数列{an},{bn}是等差数列,则数列{pan+qbn}也是等差数列. 新知运用 例1　(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值; (2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值; (3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值. 【解析】　(1)(法一)设{an}的公差为d,则解得故a25=a1+24d=4+24×=40. (法二)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40. (法三)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40. (2)由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,解得a5=14,故a1+a9=2a5=28. (3)令cn=an-bn,因为数列{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列.设数列{cn}的公差为d,由已知得c1=a1-b1=5,由a7-b7=c7=17,得5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19 ... ...