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课件网) 1.4.1 向量分解及坐标表示 第1章 平面向量及其应用 高中数学湘教版必修第二册 1.4 向量分解及坐标表示 课标阐释 1.理解并掌握平面向量基本定理,会用基表示平面向量.(数学抽象、数学运算) 2.掌握平面向量的正交分解以及坐标表示.(数学抽象、数学运算) 思维脉络 【激趣诱思】 如图所示是一个放在斜面上的物体,它所受的竖直向下的重力G可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面压紧斜面的力F2,或者说重力G可以用物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面压紧斜面的力F2来表示.把一个向量在两个不同的方向,特别是两个互相垂直的方向上进行分解,是解决向量问题的一种十分重要的手段.你知道数学中是怎样解决此类问题的吗 【知识点拨】 知识点一:平面向量基本定理 1.平面向量基本定理 设e1,e2是平面上两个不共线向量,则 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1,e2的实数倍之和,即v=xe1+ye2,其中x,y是实数. (2)实数x,y由v=xe1+ye2唯一决定.也就是:如果v=xe1+ye2=x'e1+y'e2,则x=x',y=y'. 名师点析 对平面向量基本定理的理解 (1)平面向量基本定理包括两个方面的内容,一是存在性,二是唯一性.唯一性是指如果c=xa+yb=μa+vb,那么x=μ且y=v. (2)当a与b不共线时,xa+yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0. 2.基与坐标 我们称不共线向量e1,e2组成平面上的一组基{e1,e2},分解式v=xe1+ye2中的系数x,y组成的有序数组(x,y),称为v在这组基下的坐标.取定了平面上一组基{e1,e2}之后,可以将平面上每个向量v用它在这组基下的坐标表示,记作v=(x,y). 名师点析 对基与坐标的理解 (1)由平面向量基本定理知,平面内的任一向量都可用一组基表示出来.因而可以“统一”各向量,便于研究向量问题. (2)基不唯一,同一平面可以有不同的基,且组成基的向量不能共线(零向量不可以作为基中的向量).同一非零向量在不同基下的分解式是不同的. 微思考 (1)平面向量基本定理中的“不共线”能否去掉 提示 不能,两个共线向量不能表示平面内的任意向量,不能组成基. (2)平面内的每一个向量都能用不共线的两个向量唯一表示吗 提示 是的,在平面内任一向量都可以用两个确定的不共线的向量线性表示,且这样的表示是唯一的. 微练习 若e1,e2组成平面内的一组基,则下列四组向量能组成平面向量的基的是( ) A.e1-e2,e2-e1 B.2e1-e2,e1- e2 C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1+e2,e1-e2 答案 D 解析 e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面向量的基,另外三组向量都共线,不能组成基. 知识点二:平面向量的正交分解与坐标表示 1.正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解. 标准正交基:平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基,记作{i,j}. 2.向量坐标公式:设单位向量e1,e2的夹角
=90°,非零向量v的模|v|=r且=α,则v=(rcos α,rsin α). 要点笔记 在平面直角坐标系中,向量和坐标是一一对应关系.由此可见,在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在平面直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的直观形象. 微思考 正交分解与平面向量基本定理有何联系 提示 正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(组成基的两个向量互相垂直). 微练面直角坐标系中,若i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量, 且a=2i-6j,b=5j,c=-4i,则向量a,b,c的坐标分别是 , , . 答案 (2,-6) (0,5) (-4,0) 探究一 对平面向量基本定理的理解 例1给出下列说法: ①若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2表示; ②若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式; ③若向量e1,e2是一组基,则e1+e2与e1-e2也可以作为一组基. ... ... 
