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课件网) 选择性必修二第一章第二节 等差数列前n项和 1 4 2 3 教学引入 教学目标 教学实施 教学小结 目录 CONTEXT XIU SHUI XIAN DI SI ZHONG XUE 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝. 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见右图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 1+2+3+···+100 = ？ 1+2+3+···+100= 带着这个问题，我们进入本节课的学习！ 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程． 2.掌握等差数列前n项和公式及其应用． 3.掌握等差数列五个量a1，d，n，an，Sn的关系． 课标要求 素养要求 1.数学运算：a1，d，n，an，Sn中“知三求二”，Sn的最值． 2.数学建模：利用等差数列求解相关问题． 高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777—1855),德国数学家，近代数学奠基者之一.与阿基米德、牛顿、欧拉并列为世界四大数学家 当时年仅10岁的高斯是如何快速算出的呢？ 探究点1 等差数列的前n项和公式 如图1-14,有200根相同的圆木料,要把它们堆放成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能的少,那么将剩余多少根圆木料？ 根据题意,各层圆木料数比上一层多一根,故其构成等差数列: 1,2,3,… 设共堆放了n层，能构成正三角形垛的圆木料数为Sn,则 Sn = l+2+3+ +n, 这是一个等差数列的求和问题. 如何计算该等差数列的和呢？ 等差数列的前n项和公式的证明 设Sn是等差数列{an}的前n项和，即 再把项的次序反过来， 由等差数列性质 把(1)，(2)等号两边分别相加，可得 倒序相加法 等差数列的前n项和公式 首项为a1，末项为an，项数为n的等差数列的前n项和 这个公式表明：等差数列前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半，其原理参见右图. 将an=a1+(n-1)d代入上式，得 本节开始提出的圆木堆放问题该如何解决呢？ 可转化为求满足Sn=的最大自然数n. 易知当n=19时,Sn= 190；当n=20时,Sn= 210. 故n的最大值为19. 此时,将堆放19层, 剩余10根圆木料. 例7 在我国古代,9是数字之极，代表尊贵之意,所以中国古代 皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成（如图1-17）,最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板;从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块, 共有9圈.请问： （1） 第9圈共有多少块石板？ （2） 前9圈一共有多少块石板？ 解 （1）设从第1圈到第9圈的石板数所成数列为{an},由题意可知数列{an}是等差数列，其中首项a1=9,公差d=9,项数n=9.由等差数列的通项公式，得 a9=a1 +(n-1)d=9 +(9-1)×9 = 81（块）. 分析 因为从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，所以每一圈的石板数构成等差数列，（1）是求第九项，（2）是求前九项和. （2）由等差数列的前n项和公式，得 S9=na1+ =9×9+×9 = 405（块）. 因此，第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板. 1．在-20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为 ( ) A.200 B.100 C.90 D.70 B C D 说明：两个求和公式的使用———知三求一. 课后作业 课本p17练习1、2、3 ... ...
