4.3.2等比数列的前n项和公式（第2课时）导学案（含解析） 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2等比数列的前n项和公式（第2课时）导学案 学习目标 1.能够把实际问题转化成数列问题. 2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决实际问题的过程． 重点难点 1.掌握等比数列前n项和的性质． 2．能够运用所学知识解决等差数列与等比数列的综合应用问题. 课前预习 自主梳理 知识点1．等比数列前n项和的性质 （1）若数列{an}为非常数列的等比数列，且其前n项和Sn＝A·qn＋B（A≠0，B≠0，q≠0，q≠1），则必有A＋B＝0；反之，若某一非常数列的前n项和Sn＝A·qn－A（A≠0，q≠0，q≠1），则该数列必为等比数列． （2）如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列． （3）当等比数列{an}的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比＝q. 知识点2．分组求和 某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和． 知识点3　等比数列前n项和的实际应用 1．解应用问题的核心是建立数学模型． 2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型． 3．注意问题是求什么（n，an，Sn）． 注意： （1）解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答． （2）在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确． （3）在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系． （4）在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求． 自主检测 1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）对于公比的等比数列的前项和公式，其的系数与常数项互为相反数. ( ) （2）数列的前项和为，则数列一定是等比数列. ( ) （3）数列为等比数列，则成等比数列. ( ) （4）若某数列的前项和公式为且，则此数列一定是等比数列. ( ) （5）若等比数列的前项和，则.( ) （6）若数列是公比的等比数列，则其前项和公式可表示为（，且，）．( ) 2．已知数列满足，，设，则数列的前6项和为（ ） A．127 B．255 C．31 D．63 3．数列{}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则（ ） A．(3n－1)2 B． (27n－1) C． (3n－1) D．27n－1 4．数列的前n项和为，，若，则m的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．设等比数列的前项和为，若，且的公比为整数，则（ ） A． B． C． D． 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 回顾上节课内容总结为： 分类讨论的思想： （1）利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论． （2）研究等比数列的单调性时应进行讨论： 当a1>0，q>1或a1<0，01或a1>0，00且q≠1）常和指数函数相联系． 等比数列前n项和Sn＝·（qn－1）（q≠1）． 设A＝，则Sn＝A（qn－1）也与指数函数相联系． 3．整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解． 环节二 观察分析，感知概念 例10如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去． （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列． 解：设正方形ABCD的面积为，后继各正方形的面积依次为，，…，，…，则． 由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点，所以． 你能说明理由吗？ 因此，是以25为首项，为公比的等比数列． 设的前项和为． （1）． 所以，前10个 ... ...