2023-2024学年上海市金山中学等四校联考高二年级下学期 期中数学试卷 2024.4 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.若“”，则“”是 命题（填：真、假）_____. 2.已知集合，则_____. 3.若是关于的实系数方程的一个复数根，则_____. 4.双曲线的离心率为_____. 5.若数据，，，的标准差为10，则数据的标准差为_____. 6.某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为_____. 7.若函数在处有最小值，则_____. 8.已知函数，则不等式的解集为_____. 9.如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为_____. 10.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，动点的轨迹满足，则的最大值为_____. 11.如图，四边形为梯形，，，,图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的体积为_____. 12.在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为_____. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.在等差数列中，，．记为正整数），则数列 A．有最大项，也有最小项 B．有最大项，但无最小项 C．无最大项，但有最小项 D．无最大项，也无最小项 14.在中，，则一定是 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 15.如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为 A． B． C． D． 16.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且． （1）求证：； （2）求点到侧面的距离； 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数 （1）求函数在上的单调递增区间 （2）将函数的图像向左平移个单位长度，再将图像向上平移1个单位长度，得到函数的图像，若实数满足，求的最小值。 19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示． （1）求直方图中的的值； （2）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数 （3）为了更好了解消费者和激励消防，网络公司决定在这10000名消费者中用分层随机抽样法抽取100名进一步做调查问卷和奖励。再从这100名消费在内的个体内抽取一等奖两名，求中奖的2人中消费在内各一人的概率 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点的直线交椭圆于、两个不同的点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围； （3）当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围． 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知函数 ... ...
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