中小学教育资源及组卷应用平台 6.5 三角计算的应用 知识 能力与素养 能够运用三角计算公式、正弦定理、余弦定理解决生产生活中的实际问题 通过对实际问题的探索，培养学生将实际问题转化为数学问题，实现数学建模. 学习目标 学习重难点 重点 难点 运用三角计算公式、正弦定理、余弦定理解决生产生活中的实际问题． 数学建模的数学方法． 教材分析 本节将介绍三角计算在面积问题交流电的电压问题、测量与计算问题等方面的应用. 学情分析 这节课是在学生已经学习了正弦定理、余弦定理的基础上，对实际问题的解决，难度相对较大，对于学生来说较难理解，需要详细讲解. 教学工具 教学课件 课时安排 2课时 教学过程 三角计算广泛应用于生活、生产实践和科学研究等诸多方面，能帮助人们解决很多实际问题．本节将介绍三角计算在面积问题交流电的电压问题、测量与计算问题等方面的应用. （一）创设情境，生成问题 为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校要在一块半径为10 m，圆心角为的扇形空地上修建一个矩形花坛．根据设计要求，矩形的一边在扇形的半径上，且矩形内接于扇形，应如何设计，才能使花坛的面积最大？并求出这个最大面积. 【设计意图】引出课题. （二）巩固知识，典例练习 【典例1】在日常生活中,人们会遇到一些求最大面积的问题.对于这类问题,可以“角”为自变量建立函数关系式，利用三角函数的最值来解决. 下面就是对情境问题的觪决. 解：设扇形圆心为O，矩形为ABCD，如图所示. 连接OD，记∠COD=θ，则在RtΔCOD中，CD=10sinθ，OC=10cosθ. 在RtΔAOB中， 由AB=CD可知 于是， 因此，矩形花坛ABCD的面积 显然，当=1时， 此时， 又θ∈所以. 综上所述，按照∠COD=设计，可使得花坛的面积最大，最大面积为m 【设计意图】应用和角公式和正弦型函数的性质解决实际问题. 【典例2】在日常生活中,我们的家庭用电都是交流电(如图). 若交流电的电压U(单位：V)与时间t(单位：s)之间的函数关系可用 来表示, 求： (1)开始时的电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次达到最大值的时刻. 生产实践中有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如简谐振动、交流电、海水潮汐等．在研究相关问题时，可以先建立三角函数模型，然后利用三角函数的性质解决这些问题. 解： (1) 取t=0，得开始时的电压 即该交流电开始时的电压为110V. (2) 由于电压值重复出现一次的时间间隔即为函数的一个周期,故电压值重复出现一次的时间间隔为 即电压值经过0.02s重复出现. （3）当时，得电压的最大值 此时，. 当k=0时， 因此，电压第一次达到最大值的时刻为s. 即，电压的最大值是，s时第一次达到最大值. 【设计意图】正弦型函数的性质在物理学或电工学上的应用. 【典例3】如图所示,在河的岸边选定两点A、B,对岸选定点C, 测得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120m.试根据测量结果，求河的宽度. 解：因为∠CAB=45°，∠CBA=75°，所以 根据正弦定理，可得 因此 在ΔABC中，作，交AB于点D,则CD的长度即为河宽. 在Rt CDB中， 所以， 又 因此，CD=BC 答：河宽约为94.64m. 对于无法直接测量的距离、高度等，存在着许多可供选择的间接测量方案. 例如，可以应用以前学过的全等三角形、相似三角形等 知识，通过测量和计算求得结果. 学习了三角计算后，我们也可以利 用正、余弦定理解决这些问题. 【设计意图】解决这类问题是先将实际问题转化为三角问题,然后根据已知条件解决问题. 【典例4】隧道是为了缩短行驶路程而在地下、水下或者山体中铺设铁路或修筑公路的建筑物.现为修建某山体隧道,需获得隧道两端D、E两点之间的距离．为此在山的一侧选取点C，如图所示，并测得CA=500m，CB=800 m， ∠ACB=60°. 又测得AB两点到隊道口的距离AD=180m，BE=240m ... ...
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