四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题（含解析）

高二下学期4月期中考试 数学试卷 （本试卷满分150分，答题时间120分钟） 一、单选题（每道题5分，共8道题，总分40分） 1．已知函数，则为（ ） A．9 B．8 C．－8 D．－9 2．一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（ ） A．3种 B．504种 C．24种 D．12种 3．已知在处的导数为2，则（ ） A．2 B．6 C． D． 4．已知函数，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．若，则（ ） A． B． C． D． 8．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，且，则的值是（ ） A．8 B．2 C．-4 D．-6 二、多选题（每道题5分，4道题共20分，每道题选全得5分，选不全得2分，选错得0分） 9．下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 10．函数的导函数的图像如图所示，则（ ） A．是函数的极值点 B．是函数的极小值点 C．在区间上单调递增 D．是函数的极大值点 11．已知函数，则（ ） A．当时，函数存在极值点 B．若函数在点处的切线方程为直线，则 C．点是曲线的对称中心 D．当时，函数有三个零点 12．已知（其中为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A．为函数的导函数，则方程有3个不等的实数解 B． C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为-1 D．若，则的最大值为 三、填空题（每小题5分，4道题共计20分） 13．有3位高三学生参加4所重点院校的自主招生考试，每人参加且只能参加一所学校的考试，则不同的考试方法种数为 . 14．函数的单调递减区间为 _____ ． 15．已知函数的部分图像如图所示，若，不等式的解集为_____ ． 16．已知函数，对任意且，恒有成立，则实数的取值范围是 _____ . 四、解答题（17题10分，18题—22题每道题12分，共计70分） 17．（本题共10分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最值． 18．（本题共12分）已知函数 在时取得极值. (1)求实数； (2)若，求的单调区间和极值. 19．设的极小值为-8，其导函数的图像经过点. (1)求的解析式； (2)若对都有恒成立，求实数的取值范围. 20．已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)证明：当时， 21．（本题共12分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量. (1)若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式； (2)若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？ 22．（本题12分）已知函数，其中． (1)求当时，函数在区间上的最小值； (2)若函数有两个不同的零点. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 数学参考答案： 1．B 【分析】由导数求解即可. 【详解】， 故选：B 2．C 【分析】由分类加法计数原理即可求解. 【详解】从书架上取一本书，由分类加法计数原理可知，不同的取法共有种. 故选：C. 3．A 【分析】由导数的定义求解即可. 【详解】，. 故选：A 4.【答案】C 【分析】 利用导数分析函数的单调性，求解最值即可. 【详解】，令，得， 当，，为减函数， 当，，为增函数， 又，则. 故选：C. 5．C 【分析】 根据题意，求得为偶函数，再利用导数求得函数的单调区间，结合选项，即可求解. 【详解】 由函数的定义 ... ...