8.1.3 向量的数量积的坐标运算课件(共14张PPT)-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

(课件网) 8.1 向量的数量积 8.1.3 向量的数量积的坐标运算 新授课 1. 掌握用坐标形式表示平面向量数量积，会进行平面向量数量积的坐标运算； 2. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 知识点 1：向量的坐标与向量的数量积 a y O x e1 e2 a·e2 a·e1 回顾：在平面直角坐标系中，分别给定与 x 轴、y 轴正方向相同的单位向量 ，，则对平面内的向量 ，有 = x + y，其中(x，y)就是向量 的坐标，记作 = (x，y)；且{，}是一组单位正交基底，即 · = · = 1，· = · = 0； 因此 · = (x + y)· = x· + y· = x； 同理，· = y，所以 = (·)· + (·)·； 即 在单位正交基底{，}下的坐标为 (·，·)， （如图所示）. 问题 1：设 ，，如何用坐标表示 · 呢？ 即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底{，}， 使得 = x1 + y1， = x2 + y2， 因此 · = (x1 + y1)·(x2 + y2) = x1x2· + x1y2· + y1x2· + y1y2· = x1x22 + y1y22 = x1x2 + y1y2. 从而 问题 2：若 ，该如何计算向量的模 || 呢？ 由 可知，，即 . 问题 3：设 ， 都是非零向量， 如何用坐标表示向量 ， 的夹角 θ？ 由上可知，，，， 又，所以 拓展：平面直角坐标系中两点之间的距离公式 在平面直角坐标系中，如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 =(x2 – x1，y2 – y1)， 从而 ·= (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2，因此 || = . 归纳总结 （1）向量的数量积坐标公式：； （2）向量的模坐标公式：，； （3）向量夹角坐标公式： （4）两点间的距离公式：|| = . 典例剖析 例 1：= (3，–1)， = (1，–2)，求 ·，||，||，<，>. 解：· = (3，–1) · (1，–2) = 3×1 + (–1)×(–2) = 5， || = = = ， || = = = ， 又因为 = = ，所以 <，> = . 例 2：已知点 A (1，2)，B (3，4)，C ( 5，0)，求∠BAC 的余弦值. 解：因为 = (3 – 1，4 – 2) = (2，2)， = (5 – 1，0 – 2) = (4，– 2)， 所以 · = 2×4 + 2×(– 2) = 4，|| = = ， || = = ， 因此 cos∠BAC = = = . 知识点 2：用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 问题 4：设 ，，如何用坐标表示 ⊥ 呢？ 由向量垂直可知，如果⊥，则；反之，如果，则⊥. 换用两向量的数量积坐标表示，即为： 如果 ⊥，则 x1x2 + y1y2 = 0；反之，如果 x1x2 + y1y2 = 0，则 ⊥. 综上所述，有 ⊥ x1x2 + y1y2 = 0 典例剖析 例 3：已知点 A (1，2)，B (2，3)，C (–2，5)，求证： ⊥ . 证明：因为 = (2，3) – (1，2) = (1，1)， = (– 2，5) – (1，2) = (– 3，3)， 所以 · = (1，1) (–3，3) = 1×(– 3) + 1×3 = 0； 因此 ⊥ . 例 4：如图所示，已知点 A (2，1)，将向 绕原点 O 逆时针旋转 得到 ，求点 B 的坐标. 证明：由已知可得 || = ||，· = 0； 又因为 = (2，1)，设 B (x，y)，则 = (x，y)， 从而有 ，解得 或 ； 由图可知，点 B 在第二象限，所以 B (-1，2). B y O x A 例 5：如图所示，已知正方形 ABCD 中，P 为对角线 AC 不在端点上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥BC，连接 DP，EF. 求证：DP⊥EF . 证明：如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴， 正方形的边长为单位长，建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(1，0)，D(0，1)， 从而 = (1，0)、 = (0，1)； 由已知，可设 P (a，a)，其中 0 < a < 1，则 E (a，0)，F (1，a)， 因此 = (a，a – 1)、 = (1 – a，a)； 又因为 · = a(1 – a) + (a – 1)a = 0，所以 ⊥，因此 DP⊥EF . y O x A B C D P F E 要点概括整合 平面向量数量积的坐标表示 平面向量数量积的坐标表示 平面向量垂直、夹角的坐标表示 平面向量模的坐标表示 ... ...