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课件网) 章末知识梳理 知识体系构建 要点专项突破 1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础． 2．向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算能力． 要点一 空间向量的概念及运算 1．(1)(多选题)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.以下选项正确的是( ) (2)已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c. ①求向量a，b，c； ②求a＋c与b＋c所成角的余弦值． BCD 1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明． 2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力． 要点二 利用空间向量证明位置关系 2.在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． (1)求证：BM∥平面PAD； (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由． [解析] (1)证明：以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0，2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,1,1)， 1.空间距离的计算思路 (1)点P到直线l的距离： 要点三 利用空间向量计算距离 2．通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力． 3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求： (1)M到直线PQ的距离； (2)M到平面AB1P的距离． [解析] 如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，B1(0,0,4)． (1)求两异面直线所成的角 要点四 利用空间向量求空间角 (2)求直线与平面所成的角 (3)求二面角 设n1、n2分别是平面α、β的法向量，二面角为θ，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉(需要根据具体图形判断是相等还是互补)． 4．(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明：A1C＝AC； (2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值． [解析] (1)证明：如图，过A1作A1D⊥CC1，垂足为D， ∵A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴A1C⊥BC， 又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC， ∵A1C，AC 平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACC1A1， ∵A1D 平面ACC1A1，∴BC⊥A1D， 又CC1，BC 平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C， ∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1. 由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1， ∴A1C＝A1C1，又在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝A1C1，∴A1C＝AC.(
课件网) 1．4 空间向量的应用 1．4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时 夹角问题 素养目标 定方向 1．能用向量语言表述线线、线面、平面与平面的夹角．(重点、易混点) 2．能用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题．(重点、难点) 3．能描述用向量方法解决夹角问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 1．通过学习线线、线面、平面与平面的向量表示，提升直观想象素养． 2．通过利用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问 ... ...
