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课件网) 第六章 立体几何初步 §6.2 祖暅原理与柱体、锥体、球的体积 北师大 (2019版) 数学必修二 情景导入 祖暅原理：幂势既同，则积不容异 祖暅原理：幂势既同，则积不容异 水平截面面积 高 情景导入 情景导入 图2 图1 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 新知探究：①柱体体积的计算公式 h V长方体=Sh 由祖暅原理可知： 等底面积S等高h的 任意两个柱体的体积相等. 图3 问题1：设有底面积都等于S，高都等于h的柱体，使它们的下底面在同一平面内. 你能得到什么结论？ V柱体=Sh 结论1： 新知探究：②锥体体积的计算公式 问题2：设底面积都为S、高都等于h的两个锥体,它们的底面在同一个平面内，它们的体积之间有怎样的关系呢？为什么？ 图4 分析：当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似. 由祖暅原理可知 等底面积S、等高h的两个锥体，体积相等. A B C A1 B1 C1 A B C A1 B1 C1 C A1 B1 C1 A B A1 C 图5 图5(a) 图5(b) 图5(c) 问题3：三棱柱能否分割成三个体积相等的三棱锥？ 1.观察图5(a)与图5(c): (1) (2)高为A1到平面ABC的距离 2.观察图5(b)与图5(c): (1) (2)高为点A1平面BCC1B1的距离 新知探究：②锥体体积的计算公式 等底面积S等高h的任意两个锥体的体积相等 结论2： R R R R 给出以下三种几何模型，其高与底面半径均为R： 问题4：你能用它们来推导球的体积公式吗？ 探究：先研究半径为R的半球. 为了应用祖暅原理，需要找到一个能够求体积的几何体，使它和半球可夹在两个平行平面之间，当用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时，截得的截面面积总相等. 新知探究：③球体体积的计算公式 步骤： 1.拿出圆锥和圆柱 2.将圆锥倒立放入圆柱 新知探究：③球体体积的计算公式 注意: 新知探究：③球体体积的计算公式 几何画板演示 分析: 结论3： 新知探究：③球体体积的计算公式 典例分析 [典例1] 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01 m3) 典例分析 [典例1] 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01 m3) 典例分析 [练习1] 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥． (1)求剩余部分的体积； (2)求三棱锥A-A1BD的体积及高． 典例分析 [典例2] 现有一个半径为3 cm的实心铁球，将其高温熔化后铸成一个底面圆半径为3 cm的圆柱状实心铁器(不计损耗)，则该圆柱铁器的高为_____cm. 典例分析 [练习2] (1)一圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_____cm. (2)已知一圆锥的母线长为10 cm，底面圆半径为6 cm. ①求圆锥的高； ②若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有 母线都相切，求球的表面积． 典例分析 课堂小结 知识点总结: 思想总结: (1) 祖暅原理; (2) 柱体与锥体的体积公式; (3) 球的体积公式． 化归思想 ①借助“祖暅原理”,所有柱体的体积转化为长方体的体积； ②柱体都可以分为三个等体积的锥体； ③球的体积转化为圆柱体积和圆锥体积的差. 作业布置 课本256~257页习题6-6 A组 必做：1—8题 选做：9、10题 结束语 谢谢观看! ... ...
