2024年全国高中数学联赛（四川预赛）试题 （考试时间：2024年5月19日） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．设函数的零点都在区间内，则的最小值为_____． 2．已知，若，则的最大值为_____． 3．设，若函数在其定义域内为单调递增函数，则实数的最小值为_____． 4．用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为_____． 5．设中，，，则面积的最大值为_____． 6．将边长为1的正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为_____． 7．若，则的末尾数字0的个数为_____． 8．记，，集合的子集，满足，则符合条件的集合的个数为_____．（用具体数字作答） 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知为正实数，若曲线与椭圆交于两个不同的点，求证：直线的斜率． 10．（本题满分20分）设复数满足：． 求的最小值． 11．（本题满分20分）给定正整数，数组称为“好数组”是指：均不为，且对任意的，均有． 求“好数组”的组数． 2024年全国高中数学联赛（四川预赛）试题 参考答案及评分标准 说明： 1、本试卷满分120，其中填空题64分，解答题56分． 2、评阅试卷时，请依据评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9题4分一个档次、第10题和第11题均为5分一个档次．请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次． 3、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准评分． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．4 2． 3．1 4．3 5． 6． 7．3 8．717． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．证明：设，其中． 注意到对数不等式：若，，则． 取，，得． ． ．① 将和相减，得 ， ．② 再将和相加，得．③ 注意到：时，由知， 结合①、②、③，知 ， ，即， 解得． 10．解：一方面，，，时， ； 另一方面，下证：． 由于旋转同一个角度，已知和结论不变． 因此，不妨设为实数． 设，，，其中， 则条件变为：，且．① 待证式变为：，即． 因此，只需证明：．② （反证法）假设结论不成立，即， 从而，， 在空间直角坐标系中，设，，，， 则，， 由知， 记在面上的投影为，则， ， 这里为向量与的夹角． 类似可知，， ， 这与，矛盾！ 所以，假设不成立，即有成立． 综上所述，的最小值为． 注：猜出答案，并指出一组取到最小值的，可以给5分． 11．解：引理1：对任意正整数，若时，则，且和同奇偶；若时，则，且和不同奇偶． 引理1的证明：对进行归纳． 当时，由知结论成立； 当时，注意到或者，从而结论也成立． 假设结论对时成立，下面考虑： 情形1：若．由归纳假设知，，且和同奇偶，于是和不同奇偶．由或者，知，且和同奇偶；或者，且和不同奇偶． 情形2：若．由归纳假设知，，且和不同奇偶，于是和同奇偶．由或者，知，且和不同奇偶；或者，且和同奇偶． 因此，结论对也成立． 由归纳原理知，对任意的正整数，结论均成立． 引理1得证． 记为中的数组的个数，注意． 约定，由题可知． （注意由引理1可知是偶数时是奇数时，所以上式对成立．） 引理2：对任意的正整数，有 ，①这里 且，②这里，注意这里的． 补充定义．注意①蕴含着，这和题意一致． 引理2的证明：对进行归纳， 当时， 对①：或1，注意到：，； 对②：，注意到：．从而时，结论①、②成立． 当时， 对①：或1，注意到：，； 对②：，注意到：．从而时，结论①、②成立． 假设结论①、②对时成立，考察的情形： 对于①，分情况讨论：对任意， （1-1）．易知，此时结论①成立． （1-2）对任意，注意此时 ... ...
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