4.4 数学归纳法(精讲) 考点一 等式的证明 【例1】(2022·广西河池)用数学归纳法证明:(n为正整数). 【一隅三反】 1.(2022·全国·高二专题练习)用数学归纳法证明:1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1=2n(2n-3)+3(n∈N*). 2.(2021·全国·高二专题练习)已知n∈N*,求证1·22-2·32+…+(2n-1)·(2n)2-2n·(2n+1)2=-n(n+1)(4n+3). 3.(2021·全国·高二专题练习)用数学归纳法证明:1+5+9+…+(4n-3)=(2n-1)·n. 考点二 不等式的证明 【例2】(2022·高二专题练习)用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*). 【一隅三反】 1.(2022·全国·高二课时练习)证明不等式1+++…+<2 (n∈N*). 2.(2021·江苏·高二课时练习)证明:不等式,恒成立. 3.(2021·全国·高二课时练习)用数学归纳法证明:. 考点三 数列的证明 【例3】(2022·江西赣州)已知数列满足,前n项和. (1)求,,的值并猜想的表达式; (2)用数学归纳法证明(1)的猜想. 【一隅三反】 1.(2022·广西·桂林市第十九中学高二期中(理))设数列满足. (1)求的值并猜测通项公式; (2)证明上述猜想的通项公式. 2.(2022·广西·桂林市国龙外国语学校高二阶段练习(理))请你从下列两个递推公式中,任意选择一个填入题中横线上,并解答题后的两个问题: ① ② 已知数列的前项和为,且,_____. (1)求; (2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明. 3.(2022·天津市)已知数列满足. (1)写出,并推测的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论. 考点四 整除问题 【例4-1】(2022·全国·高二课时练习)证明:当时,能被64整除. 【一隅三反】 1.(2022·全国·高二课时练习)求证:能被整除. 2.(2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习(理))用数学归纳法证明:对任意正整数能被9整除. 3.(2022·全国·高二课时练习)试用数学归纳法证明. 考点五 增项 【例5-1】(2022·浙江·嘉兴一中高二期中)用数学归纳法证明时,假设时命题成立,则当时,左端增加的项为( ) A. B. C. D. 【例5-2】(2022·江西抚州·高二期中(理))利用数学归纳法证明不等式的过程中,由到,左边增加了( ) A.1项 B.k项 C.项 D.项 【一隅三反】 1.(2022·全国·高二课时练习)用数学归纳法证明:,第二步从到,等式左边应添加的项是( ) A. B. C. D. 2.(2022·甘肃庆阳·高二期末(理))用数学归纳法证明不等式的过程中,由递推到时,不等式左边增加了( ) A. B. C. D. 3.(2022·陕西西安·高二期中(理))利用数学归纳法证明不等式(,且)的过程,由到时,左边增加了( ) A.项 B.项 C.k项 D.1项 4.(2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习(理))用数学归纳法证明等式,从到左端需要增乘的代数式为( ) A. B. C. D. 4.4 数学归纳法(精讲) 考点一 等式的证明 【例1】(2022·广西河池)用数学归纳法证明:(n为正整数). 答案:证明见解析 【解析】证明:①当时,左边,右边,等式成立. ②假设当时,等式成立, 即, 那么当时, . 故当时,等式也成立. 综上可知等式对任意正整数n都成立. 【一隅三反】 1.(2022·全国·高二专题练习)用数学归纳法证明:1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1=2n(2n-3)+3(n∈N*). 答案:证明见解析 【解析】证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=2(2-3)+3=1,左边=右边,所以等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1=2k(2k-3)+3. 则当n=k+1时,1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1+(2k+1)×2k=2k(2k-3)+3+(2k+1)×2k=2k(4k-2)+3=2k+1[2(k+1)-3]+3, 即当n=k+1时,等式 ... ...
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