12 用思维导图突破解析几何压轴题 专题1 曲线和方程 （共12页） 专题01 曲线与方程 解答数学题的“思维导图”： 逛公园顺道看景，好风光驻足留影. 把条件翻成图式，关键处深挖搞清. 综合法由因导果，分析法执果索因. 两方法嫁接联姻，让难题无以遁形. 这里把解题比作逛公园，沿路而行，顺道看景，既有活跃气氛，又有借景喻理之意，即理解题意后把已知条件“翻译”出来，如果能得到结论那是最好，如果不行就要转化，即从已知条件入手推出中间结论（可知），当中间结论能直接证明最终结论时，则解题成功.当中间结论不能直接证明最终结论时，可把最终结论等价转化为“需知”，再用中间结论证明“需知”从而达到解题目的.有时还要挖掘题目的隐含条件.从某种意义上说，解题就是“找关系”--找出已知与未知的联系，不断缩小以至消除二者之间的差距，从而达到解题目的. 这个思维导图不仅是用来解答压轴题，其实，每个层次的学生都有相应的难题。中等以下水平的学生高考基本不用做压轴题的，但他们做中档题会有困难，思维导图一样适用。 专题1 曲线的方程 本专题思维导图 一个问题两方面 几何直观是曲线 代数运算很精准 读题画图思路现 曲线与方程是解析几何的最基础问题，高考中除了部分直接考求轨迹方程的解答题， 还有不少试题作为第（1）题要求曲线的方程，或者在知道曲线类型的情况下，求其他基本量（a、b、c、e、p）或其他特定的量.解题过程中要注意基本量思想的运用，即根据条件设出几个变量（基本量），相应地就要根据条件列出几个方程，解出相关变量，达到解题目的. 曲线形象直观，方程精准深刻，二者从不同的角度、以不同的形式反映同一个问题。因此解题过程需要画出图形以利思考。 思路点拨 如图所示，过点A作渐近线的垂线AP，由∠MAN=60°可得∠PAN=30°, 因为，，所以，， . 又，所以，解得，所以. 思路点拨 根据抛物线定义，，所以. 因为 所以， 所以，，所以渐近线方程为. 思路点拨 以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即 ，，故选A. 思路点拨 （1）由椭圆的离心率为可得，又圆的半径为，，解出a，． （2）若，为上下或左右顶点，则直线，与圆相切。一般情形设直线的方程为，代入椭圆方程可得． 再设，，，利用及韦达定理求出m和k的关系，然后计算圆心到直线的距离，并比较此距离与半径的大小． 本题思维导图： 满分解答 由题意知，。 设圆的半径为，则，即，解得，所以，所以，椭圆的方程为． （2）因为M，N关于原点对称，O为原点，由知． 设，，，,当直线的斜率存在时，设直线的方程为． 代入椭圆方程整理得。 由于，，，，且，所以 ，于是。 又圆的圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切． 当直线的斜率不存在时，依题意得，，，．由得，所以 ，结合得，所以直线到原点的距离都是，即直线与圆也相切． 同理可得，直线与圆也相切． 综合上述，直线、与圆相切 思路点拨 第(1)题列出关于a，c的方程，解出a，c即可.第（2）题需要表示出B、D的坐标，可以用椭圆的参数方程设出B的坐标，也可以设PA的方程为x=my+1，再与椭圆方程联立求出B的坐标，再求直线BQ的方程，从而求出D的坐标. 满分解答 （1）设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是. 故椭圆的方程为，抛物线的方程为. (2) 解1 如图，考虑到图形的对称性，先计算点纵坐标为正实数的情形．设，. 因为，所以，解得，于是 ，于是 ，所以直线BQ的方程为. 令，得，即. 所以的面积，即 ，与联立解得，． 由此可得，所以直线的方程为. 根据图形的对称性，可得直线的方程为或． 解2设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故. 把与联立，消去，整理得，解得，或. 由点异于点，可得点. 由，可得直线的方程为. 令，解得，故，. 又因 ... ...
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