2025北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习题--专题强化练8　空间向量与立体几何的综合应用（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题强化练8　空间向量与立体几何的综合应用　　　　　 　　　　 　　　　 1.(2024上海格致中学期中)《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣.”刘徽注:“此术臑者,背节也,或曰半阳马,其形有似鳖肘,故以名云.中破阳马,得两鳖臑,鳖臑之起数,数同而实据半,故云六而一即得.” 如图,在鳖臑ABCD中,侧棱AB⊥底面BCD. (1)若BC⊥CD,AB=1,BC=2,CD=1,求异面直线AC与BD夹角的余弦值; (2)若BD⊥CD,AB=BD=CD=2,点P在棱AC上运动,求△PBD面积的最小值. 2.(2023天津第一百中学期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中AD∥BC,AB⊥AD,AB=AD=BC=2,PA=4,E为棱BC上的点,且BE=BC. (1)求证:DE⊥平面PAC; (2)求二面角A-PC-D的正弦值; (3)设Q为棱CP上的点(不与C,P重合),且直线QE与平面PAC夹角的正弦值为,求的值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练8　空间向量与立体几何的综合应用 1.解析　(1)如图1,以B为坐标原点建立空间直角坐标系, 则A(0,0,1),B(0,0,0),C(0,2,0),D(-1,2,0), ∴=(-1,2,0), ∴cos< =, ∴异面直线AC与BD夹角的余弦值为. (2)如图2,以B为坐标原点建立空间直角坐标系, 过点P作PH⊥BD,垂足为H,设H(0,a,0), ∵A(0,0,2),B(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0), ∴=(0,2,0), 设=(2λ,2λ,-2λ)(0≤λ≤1), 则P(2λ,2λ,2-2λ),∴=(-2λ,a-2λ,2λ-2), 又PH⊥BD,∴=0,即(-2λ)×0+(a-2λ)×2+(2λ-2)×0=0,解得a=2λ, ∴=(-2λ,0,2λ-2), 则|, ∴S△PBD=·||·|, 当λ=时,S△PBD取得最小值,且最小值为. 2.解析　(1)证明:由题意得,AB,AD,AP两两相互垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 由已知可得A(0,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),P(0,0,4),E(2,1,0), 所以=(0,0,4). 因为=0, 所以DE⊥AC,DE⊥AP, 又AP∩AC=A,AP 平面PAC,AC 平面PAC, 所以DE⊥平面PAC. (2)由(1)可知DE⊥平面PAC, 所以=(2,-1,0)为平面PAC的一个法向量. 设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z), 又=(2,4,-4), 则 令z=1,得n=(-2,2,1), 则cos<,n>= =, 由题意知,二面角A-PC-D为锐二面角, 所以二面角A-PC-D的正弦值为. (3)设=λ(0<λ<1),则=(-2λ,-4λ,4λ),所以Q(2-2λ,4-4λ,4λ), 所以=(2λ,4λ-3,-4λ), 因为直线QE与平面PAC夹角的正弦值为, 所以|cos< =, 所以λ=,即. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com)