8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

8．3　简单几何体的表面积与体积 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 活动一 棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念 1. 阅读课本，了解多面体的表面积的概念： 思考1 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？ 活动二 棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算 例1　如图，四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积． 多面体的表面积转化为各面面积之和．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 如图，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，则制造这个滚筒需要_____m2铁板．(精确到0.1 m2) 活动三　棱柱、棱锥、棱台体积的概念　 2. 了解棱柱、棱锥、棱台的体积 (1) 我们以前已经学习了特殊的棱柱———正方体、长方体的体积公式，它们分别是 V正方体＝a3(a是正方体的棱长)， V长方体＝abc(a，b，c分别是长方体的长、宽、高). 一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱＝Sh. (2) 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么棱柱的体积是棱锥的体积的 3倍.因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么该棱锥的体积V棱锥＝Sh. (3) 由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式 V棱台＝h(S′＋＋S)， 其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高． 注意：棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离． 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离． 思考2 观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式V棱柱＝Sh，V棱锥＝Sh，V棱台＝h(S′＋＋S)，它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 活动四　棱柱、棱锥、棱台体积的计算　 例2　如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是 0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01 m3) 　　 1. 常见的求几何体体积的方法： ①公式法：直接代入公式求解；②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可；③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 2. 求几何体体积时需注意的问题： 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A-DED1 的体积为_____． 1. 已知一个正四棱柱体的对角线的长是9cm，表面积等于144cm2，则这个棱柱的侧面积为(　　) A. 112 cm2 B. 72 cm2 C. 112 cm2或72 cm2 D. 78 cm2 2. 若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(　　) A. B. C. D. 3. (多选)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，E是侧棱BB1上的一个动点，则下列结论中正确的是(　　) A. 直三棱柱的侧面积是4＋2 B. 直三棱柱的体积是 C. 三棱锥E-AA1O的体积为定值 D. AE＋EC1的最小值为2 4. (2023宝鸡中学高一阶段练习)已知正四棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长为2 cm，则它的表面积为_____cm2. 5. (2023襄阳高一阶段练习)如图，在正四棱锥P-ABCD中，AB＝2，PA＝4，M ... ...