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课件网) 第十七章 特殊三角形 17.2 直角三角形 1. 理解和掌握直角三角形的性质定理和判定定理. 2. 能利用直角三角形的性质定理和判定定理解决实际问题. 3. 探索并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 4. 通过对直角三角形的学习，进一步认识直角三角形，体会数学知识在解决问题中的作用. 等腰三角形 性质 判定 两边相等(定义) 等边对等角 三线合一(1条) 两边相等(定义) 等角对等边 特 例 等边三角形 性质 判定 三边相等(定义) 三个角都相等,都等于60° 三线合一(3条) 三边相等(定义) 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 三个角都相等 回顾旧知 知识点 直角三角形的性质与判定 1 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如图，直角三角形ABC可以表示为“Rt△ABC”. 我们知道，有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形. A C B 思考： 1.观察图中的三角形，∠C=90°，从∠A+∠B的度数，能说明什么 为什么 A B C ∠A +∠B =90° 直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余. A B C 2.我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余. 反过来，如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B+∠C=180°， 又因为∠A +∠B=90°， 所以∠C=90°. 于是可知△ABC是直角三角形. 直角三角形性质定理的逆命题显然也是真命题.于是，有: 直角三角形的判定定理： 如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形. 如图，已知∠A＝32°，∠ADC＝110°，BE⊥AC于点E，求∠B的度数． 点拨：要求∠B的度数，由于在△BEC中，∠BEC＝90°，只要求出∠C的度数即可求得∠B的度数；在△ADC中，∠A＝32°，∠ADC＝110°，利用三角形内角和定理不难求出∠C的度数，从而使问题得解. B D C E A 例1 例1 如图，已知∠A＝32°，∠ADC＝110°，BE⊥AC于点E，求∠B的度数． 解：∵∠A＝32°，∠ADC＝110°， ∴∠C＝180°－32°－110°＝38°. 又∵BE⊥AC，∴△BEC为直角三角形， ∴∠B＝90°－∠C＝90°－38°＝52°(直角三角 形的两个锐角互余)． B D C E A 总 结 直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的 两锐角互余的本质是三角形内角和定理，是三角 形内角和定理的一种简化应用，利用这一性质， 在直角三角形中已知一锐角可求另一锐角． 例2 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.试说明△EFP为直角三角形． 点拨：判定△EFP为直角三角形，有两种方法： ①有一角是直角，②两锐角互余，即要说 明∠EPF＝90°或∠EFP＋∠FEP＝90°. A P E B C D F ∵AB∥CD， ∴∠BEF＋∠DFE＝180°. ∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线， ∴∠PEF＝ ∠BEF，∠PFE＝ ∠DFE. ∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)＝ ×180°＝90°. ∴△EFP为直角三角形． 解： A P E B C D F 如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中 与∠B互余的角有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 练 A D C B 知识点 直角三角形斜边上的中线性质 2 在一张半透明的纸上画出Rt△ABC，∠C=90°， 如图(1)；将∠B折叠，使点B与点C重合，折痕为EF， 沿BE画出虚线CE， 如图(2)；将纸展开，如图(3) . 观察与思考 B A C (1) A C B (2) B A C E F (3) (B) E F (1)∠ECF与∠B有怎样的关系？线段EC与线段EB有怎样的关系？ (2)由发现的上述关系以∠A+∠B=∠ACB,∠ACE+∠ECF =∠ACB，你能判断∠ACE与∠A的大小关系吗？线段AE与线段CE呢 (3)你发现了什么结论？将你的结论与大家交流. 思考： 我们发现，CE=AE=EB，即CE是AB的中线，且CE= AB. ∠ECF=∠B, EC=EB. ∠ACE=∠A, AE=CE. B A C E F 下面就来证明我们的“ ... ...
