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课件网) 第十七章 特殊三角形 17.2 直角三角形 1.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余. 2.掌握两个角互余的三角形是直角三角形. 3.探索并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 学习重点：掌握直角三角形的性质定理和判定定理 学习难点：初步养成综合运用知识解决问题的能力，进一步提高推理能力 我们前边学习了等腰三角形，除了等腰三角形外，我们还学过直角三角形，直角三角形是又一类特殊的三角形，那么它具有什么性质呢？ 学生活动一 【一起探究】 你对直角三角形有哪些认识呢？ 如何判定一个三角形是直角三角形呢？ 已知： 在Rt△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A+∠B＝90°. 证明： ∵ 在Rt△ABC中， ∠A+∠B+∠C＝180°，且∠C＝90°， ∴ ∠A+∠B＝180°－∠C ＝180°－90°＝90°. 直角三角形的性质定理1： 直角三角形的两个锐角互余. 符号语言：在△ABC中，∠C＝90°, ∴ ∠A+∠B＝90°. 直角三角形的判定定理的逆命题显然也是真命题，于是有： 如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形. 已知：在△ABC中，∠A+∠B＝90°. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°, ∵ ∠A+∠B＝90°, ∴ ∠C＝180°－（∠A+∠B）＝180°－90°＝90°, ∴ △ABC是直角三角形. 直角三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形. 符号语言： ∵在△ABC中，∠A+∠B＝90°, ∴ △ABC是直角三角形. 在一张半透明的纸上画出Rt△ABC，∠C＝90°，如图（1）；将∠B折叠，使点B与点C重合，折痕为EF，沿BE画出虚线CE，如图（2）；将纸展开，如图（3）. 完成下列问题： （1） （2） （3） 学生活动二 【动手操作】 (1)∠ECF与∠B有怎样的关系？线段EC与线段EB有怎样的关系？ 结论：∠ECF＝∠B，EC＝EB. （1） （2） （3） 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的中线. 求证：CD＝ AB. 学生活动三 【证明猜想】 证明：如图，过点D作DE∥BC，交AC于点E； 作DF∥AC，交BC于点F. 在△AED 和△DFB 中， ∴ △AED≌△DFB (ASA). ∴ AE＝DF，ED＝FB.(全等三角形的对应边相等） 同理可证，△CDE≌△DCF. 从而，ED＝FC，EC＝FD. ∴ AE＝EC，CF＝FB.(等量代换） 又∵ DE⊥AC，DF⊥BC， ∴ DE为AC的垂直平分线，DF为BC的垂直平分线. ∴AD＝CD＝BD(线段垂直平分线的性质定理). ∴ CD＝ AB. 直角三角形性质定理2： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 证明： 在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半. 学生活动四 【解决问题】 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°. 求证：BC＝ AB. 法1： 证明：作斜边上的中线CD，则CD＝AD＝BD＝ AB. ∵ ∠A＝30°,∴ ∠B＝60°. ∴ △CDB是等边三角形，∴ BC＝BD＝ AB. 法2：延长BC到D,使CD＝ BC, 连接AD. 在△ABC和△ADC中, AC＝ AC, ∠ ACB ＝ ∠ ACD ＝90°, BC＝ DC, ∴ △ABC≌△ADC(SAS), ∴ AB＝AD. ∵ ∠BAC＝30°,∴ ∠B＝90°-30°＝60°, ∴ △ABD是等边三角形, ∴ AB＝BD,∴ BC＝AB. 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高， 如果∠A=50°，则∠DCB=（ ） A．50° B．45° C．40° D．25° 2．在Rt△ABC，∠C＝90°∠A＝30°，若AB＝4cm ,则BC＝ ． 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB =（ ） A.40° B.30° C.20° D.10° 4．若直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm、12cm，则它的面积是 cm2. 5. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=25°，则∠BDC等于（ ） A．44° B．60° C．67° D．70° 直角三角形的性 ... ...
